共和分：非定常時系列間の長期均衡関係
共和分理論の意義
共和分（Cointegration）は、Granger（1981）とEngle & Granger（1987）によって開発された画期的な概念で、非定常時系列間の長期均衡関係を数学的に定式化しました。この理論により、従来は「疑似回帰」として避けられていた非定常変数間の関係分析が可能となり、現代マクロ経済学と金融計量経済学の基礎となっています。
共和分の数学的定義
Step 1: 基本的な定義
和分の概念：
時系列$X_t$が$d$次和分I(d)であるとは、$d$回差分を取ることで定常になることを意味します：
$X_t \sim I(d) \Leftrightarrow \nabla^d X_t \sim I(0)$
ここで、$\nabla = 1 - L$は差分演算子、$I(0)$は定常過程を表します。
共和分の定義：
Engle-Granger共和分定義
$n$個の時系列$\mathbf{X}_t = (X_{1t}, X_{2t}, \ldots, X_{nt})^T$がすべて$I(d)$であるとき、線形結合
$\mathbf{\beta}^T \mathbf{X}_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + \cdots + \beta_n X_{nt}$
が$I(d-b)$ ($b > 0$) となるような非零ベクトル$\mathbf{\beta}$が存在するとき、$\mathbf{X}_t$は共和分関係にあるといいます。
最もケースは$d=b=1$で、$I(1)$系列の線形結合が$I(0)$（定常）となる場合です。
2変量共和分の詳細分析
Step 2: 2変量ケースの具体的展開
$X_t, Y_t \sim I(1)$のとき、共和分関係は以下のように表現されます：
$Z_t = X_t - \beta Y_t \sim I(0)$
ここで、$\beta$は共和分係数または長期均衡係数と呼ばれます。
共和分関係の経済的解釈：
| 概念 | 数学的表現 | 経済的意味 |
|---|
| 長期均衡 | $E[Z_t] = \mu$ | 変数間の安定した関係 |
| 短期乖離 | $Z_t - \mu$ | 一時的な不均衡 |
| 復元力 | $\text{Var}(Z_t) < \infty$ | 均衡への回帰傾向 |
Granger表現定理
Step 3: 共和分と誤差修正の等価性
Granger表現定理（1987）：
$X_t, Y_t \sim I(1)$が共和分関係にあるとき、以下の誤差修正表現（ECM: Error Correction Model）が存在します：
$\begin{align}\Delta X_t &= \alpha_1 (X_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{11,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{12,i} \Delta Y_{t-i} + \epsilon_{1t} \\\Delta Y_t &= \alpha_2 (X_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{21,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{22,i} \Delta Y_{t-i} + \epsilon_{2t}\end{align}$
誤差修正メカニズムの解釈
- $\alpha_1, \alpha_2$：調整係数（adjustment coefficients）
- $(X_{t-1} - \beta Y_{t-1})$：誤差修正項（error correction term）
- $\alpha_i < 0$：均衡への復元力を示す
- $|\alpha_i|$：調整速度（大きいほど速い復元）
共和分検定の方法論
Step 4: Engle-Granger 2段階法
Step 4.1: 第1段階 - 共和分回帰
$X_t = \alpha + \beta Y_t + u_t$
OLS推定により$\hat{\beta}$を求めます。共和分下では、$\hat{\beta}$は超一致推定量（superconsistent）となり、収束率が$T$（通常の$\sqrt{T}$より速い）になります。
Step 4.2: 第2段階 - 残差の単位根検定
$\hat{u}_t = X_t - \hat{\alpha} - \hat{\beta} Y_t$
$\hat{u}_t$に対してADF検定を実施：
$\Delta \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i \Delta \hat{u}_{t-i} + \epsilon_t$
- $H_0: \rho = 0$ （共和分なし）
- $H_1: \rho < 0$ （共和分あり）
注意：臨界値は通常のADF検定と異なります（より負の値）。
Johansen共和分検定
Step 5: 多変量共和分分析
ベクトル誤差修正モデル（VECM）：
$\Delta \mathbf{X}_t = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \boldsymbol{\Gamma}_i \Delta \mathbf{X}_{t-i} + \boldsymbol{\epsilon}_t$
ここで：
- $\boldsymbol{\alpha}$：調整係数ベクトル（$n \times r$）
- $\boldsymbol{\beta}$：共和分ベクトル（$n \times r$）
- $r$：共和分関係の数（$0 \leq r \leq n$）
Johansen検定統計量：
1. トレース検定：
$\lambda_{\text{trace}}(r) = -T \sum_{i=r+1}^{n} \ln(1 - \hat{\lambda}_i)$
2. 最大固有値検定：
$\lambda_{\max}(r, r+1) = -T \ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1})$
ここで、$\hat{\lambda}_i$は固有値の推定値（降順）
| 検定 | 帰無仮説 | 対立仮説 | 特徴 |
|---|
| トレース | $\text{rank} \leq r$ | $\text{rank} > r$ | 包括的検定 |
| 最大固有値 | $\text{rank} = r$ | $\text{rank} = r+1$ | 逐次検定 |
実証分析での応用例
Step 6: 経済学・ファイナンスでの具体例
共和分の代表的応用分野
- 購買力平価（PPP）
- $S_t - P_t + P_t^* \sim I(0)$
- $S_t$：為替レート、$P_t, P_t^*$：国内外物価
- 金利平価
- 株価と配当
- $P_t - \beta D_t \sim I(0)$
- 効率的市場仮説の検証
- 消費と所得
- マネーサプライと物価
共和分の統計的性質
Step 7: 推定量の漸近性質
超一致性（Superconsistency）：
共和分回帰のOLS推定量は通常より速い収束率を持ちます：
$T(\hat{\beta} - \beta) \Rightarrow \frac{\int_0^1 W_1(r) dW_2(r)}{\int_0^1 W_1(r)^2 dr}$
ここで、$W_1(r), W_2(r)$はブラウン運動
漸近分布の特徴：
- 非標準分布（汎関数の比）
- 内生性があっても一致推定
- 通常の$t$統計量は無効
Phillips-Hansen完全修正OLS（FMOLS）：
$\hat{\beta}_{FMOLS} = \left( \sum_{t=1}^{T} \tilde{Y}_t \tilde{Y}_t^T \right)^{-1} \left( \sum_{t=1}^{T} \tilde{Y}_t \tilde{X}_t - T \hat{\Delta}_{21} \right)$
ここで、$\tilde{Y}_t, \tilde{X}_t$は非対称調整項
他の選択肢の詳細検討
Step 8: 誤解の解明
選択肢B: $X_t$ と $Y_t$ の相関係数が1に近い
- ❌ 相関係数は短期的関係を示す
- 共和分は長期均衡関係
- 高相関でも共和分しない場合あり
- 例：独立なランダムウォーク同士
選択肢C: $X_t$ と $Y_t$ が同じトレンドを持つ
- ❌ 決定論的トレンドの概念
- 共和分は確率的トレンドの関係
- 同じ決定論的トレンド ≠ 共和分
- 例：$X_t = t + \epsilon_{1t}$, $Y_t = t + \epsilon_{2t}$
選択肢D: $X_t$ と $Y_t$ の差分が非定常である
- ❌ 差分は通常定常（$I(1) \to I(0)$）
- 共和分は線形結合の定常性
- 単純差分 ≠ 最適線形結合