<h4>共和分：非定常時系列間の長期均衡関係</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>共和分理論の革命的意義</div><p>共和分（Cointegration）は、Granger（1981）とEngle & Granger（1987）によって開発された画期的な概念で、非定常時系列間の長期均衡関係を数学的に定式化しました。この理論により、従来は「疑似回帰」として避けられていた非定常変数間の関係分析が可能となり、現代マクロ経済学と金融計量経済学の基礎となっています。</p></div><h4>共和分の数学的定義</h4><p class='step'><strong>Step 1: 基本的な定義</strong></p><p><strong>和分の概念：</strong></p><p>時系列$X_t$が$d$次和分I(d)であるとは、$d$回差分を取ることで定常になることを意味します：</p><div class='formula'>$X_t \sim I(d) \Leftrightarrow \nabla^d X_t \sim I(0)
lt;/div><p>ここで、$\nabla = 1 - L$は差分演算子、$I(0)$は定常過程を表します。</p><p><strong>共和分の定義：</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>Engle-Granger共和分定義</div><p>$n$個の時系列$\mathbf{X}_t = (X_{1t}, X_{2t}, \ldots, X_{nt})^T$がすべて$I(d)$であるとき、線形結合</p><div class='formula'>$\mathbf{\beta}^T \mathbf{X}_t = \beta_1 X_{1t} + \beta_2 X_{2t} + \cdots + \beta_n X_{nt}
lt;/div><p>が$I(d-b)$ ($b > 0$) となるような非零ベクトル$\mathbf{\beta}$が存在するとき、$\mathbf{X}_t$は共和分関係にあるといいます。</p><p>最もケースは$d=b=1$で、$I(1)$系列の線形結合が$I(0)$（定常）となる場合です。</p></div><h4>2変量共和分の詳細分析</h4><p class='step'><strong>Step 2: 2変量ケースの具体的展開</strong></p><p>$X_t, Y_t \sim I(1)$のとき、共和分関係は以下のように表現されます：</p><div class='formula'>$Z_t = X_t - \beta Y_t \sim I(0)
lt;/div><p>ここで、$\beta$は<strong>共和分係数</strong>または<strong>長期均衡係数</strong>と呼ばれます。</p><p><strong>共和分関係の経済的解釈：</strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>概念</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>数学的表現</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>経済的意味</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>長期均衡</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$E[Z_t] = \mu
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>変数間の安定した関係</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>短期乖離</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$Z_t - \mu
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>一時的な不均衡</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>復元力</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{Var}(Z_t) < \infty
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>均衡への回帰傾向</td></tr></table><h4>Granger表現定理</h4><p class='step'><strong>Step 3: 共和分と誤差修正の等価性</strong></p><p><strong>Granger表現定理（1987）：</strong></p><p>$X_t, Y_t \sim I(1)$が共和分関係にあるとき、以下の誤差修正表現（ECM: Error Correction Model）が存在します：</p><div class='formula'>$\begin{align}\Delta X_t &= \alpha_1 (X_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{11,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{12,i} \Delta Y_{t-i} + \epsilon_{1t} \\\Delta Y_t &= \alpha_2 (X_{t-1} - \beta Y_{t-1}) + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{21,i} \Delta X_{t-i} + \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_{22,i} \Delta Y_{t-i} + \epsilon_{2t}\end{align}
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>誤差修正メカニズムの解釈</div><ul><li><strong>$\alpha_1, \alpha_2
lt;/strong>：調整係数（adjustment coefficients）</li><li><strong>$(X_{t-1} - \beta Y_{t-1})
lt;/strong>：誤差修正項（error correction term）</li><li><strong>$\alpha_i < 0
lt;/strong>：均衡への復元力を示す</li><li><strong>$|\alpha_i|
lt;/strong>：調整速度（大きいほど速い復元）</li></ul></div><h4>共和分検定の方法論</h4><p class='step'><strong>Step 4: Engle-Granger 2段階法</strong></p><p><strong>Step 4.1: 第1段階 - 共和分回帰</strong></p><div class='formula'>$X_t = \alpha + \beta Y_t + u_t
lt;/div><p>OLS推定により$\hat{\beta}$を求めます。共和分下では、$\hat{\beta}$は<strong>超一致推定量</strong>（superconsistent）となり、収束率が$T$（通常の$\sqrt{T}$より速い）になります。</p><p><strong>Step 4.2: 第2段階 - 残差の単位根検定</strong></p><div class='formula'>$\hat{u}_t = X_t - \hat{\alpha} - \hat{\beta} Y_t
lt;/div><p>$\hat{u}_t$に対してADF検定を実施：</p><div class='formula'>$\Delta \hat{u}_t = \rho \hat{u}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \gamma_i \Delta \hat{u}_{t-i} + \epsilon_t
lt;/div><ul><li>$H_0: \rho = 0$ （共和分なし）</li><li>$H_1: \rho < 0$ （共和分あり）</li></ul><p><strong>注意：</strong>臨界値は通常のADF検定と異なります（より負の値）。</p><h4>Johansen共和分検定</h4><p class='step'><strong>Step 5: 多変量共和分分析</strong></p><p><strong>ベクトル誤差修正モデル（VECM）：</strong></p><div class='formula'>$\Delta \mathbf{X}_t = \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T \mathbf{X}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1} \boldsymbol{\Gamma}_i \Delta \mathbf{X}_{t-i} + \boldsymbol{\epsilon}_t
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\boldsymbol{\alpha}$：調整係数ベクトル（$n \times r$）</li><li>$\boldsymbol{\beta}$：共和分ベクトル（$n \times r$）</li><li>$r$：共和分関係の数（$0 \leq r \leq n$）</li></ul><p><strong>Johansen検定統計量：</strong></p><p><strong>1. トレース検定：</strong></p><div class='formula'>$\lambda_{\text{trace}}(r) = -T \sum_{i=r+1}^{n} \ln(1 - \hat{\lambda}_i)
lt;/div><p><strong>2. 最大固有値検定：</strong></p><div class='formula'>$\lambda_{\max}(r, r+1) = -T \ln(1 - \hat{\lambda}_{r+1})
lt;/div><p>ここで、$\hat{\lambda}_i$は固有値の推定値（降順）</p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>検定</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>帰無仮説</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>対立仮説</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特徴</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>トレース</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{rank} \leq r
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{rank} > r
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>包括的検定</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>最大固有値</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{rank} = r
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\text{rank} = r+1
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>逐次検定</td></tr></table><h4>実証分析での応用例</h4><p class='step'><strong>Step 6: 経済学・ファイナンスでの具体例</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>共和分の代表的応用分野</div><ol><li><strong>購買力平価（PPP）</strong><ul><li>$S_t - P_t + P_t^* \sim I(0)
lt;/li><li>$S_t$：為替レート、$P_t, P_t^*$：国内外物価</li></ul></li><li><strong>金利平価</strong><ul><li>長短金利間の共和分関係</li><li>国際金利裁定条件</li></ul></li><li><strong>株価と配当</strong><ul><li>$P_t - \beta D_t \sim I(0)
lt;/li><li>効率的市場仮説の検証</li></ul></li><li><strong>消費と所得</strong><ul><li>長期消費関数の安定性</li><li>恒常所得仮説の検証</li></ul></li><li><strong>マネーサプライと物価</strong><ul><li>貨幣数量説の長期関係</li><li>金融政策の効果分析</li></ul></li></ol></div><h4>共和分の統計的性質</h4><p class='step'><strong>Step 7: 推定量の漸近性質</strong></p><p><strong>超一致性（Superconsistency）：</strong></p><p>共和分回帰のOLS推定量は通常より速い収束率を持ちます：</p><div class='formula'>$T(\hat{\beta} - \beta) \Rightarrow \frac{\int_0^1 W_1(r) dW_2(r)}{\int_0^1 W_1(r)^2 dr}
lt;/div><p>ここで、$W_1(r), W_2(r)$はブラウン運動</p><p><strong>漸近分布の特徴：</strong></p><ul><li>非標準分布（汎関数の比）</li><li>内生性があっても一致推定</li><li>通常の$t$統計量は無効</li></ul><p><strong>Phillips-Hansen完全修正OLS（FMOLS）：</strong></p><div class='formula'>$\hat{\beta}_{FMOLS} = \left( \sum_{t=1}^{T} \tilde{Y}_t \tilde{Y}_t^T \right)^{-1} \left( \sum_{t=1}^{T} \tilde{Y}_t \tilde{X}_t - T \hat{\Delta}_{21} \right)
lt;/div><p>ここで、$\tilde{Y}_t, \tilde{X}_t$は非対称調整項</p><h4>他の選択肢の詳細検討</h4><p class='step'><strong>Step 8: 誤解の解明</strong></p><p><strong>選択肢B: $X_t$ と $Y_t$ の相関係数が1に近い</strong></p><ul><li>❌ 相関係数は短期的関係を示す</li><li>共和分は長期均衡関係</li><li>高相関でも共和分しない場合あり</li><li>例：独立なランダムウォーク同士</li></ul><p><strong>選択肢C: $X_t$ と $Y_t$ が同じトレンドを持つ</strong></p><ul><li>❌ 決定論的トレンドの概念</li><li>共和分は確率的トレンドの関係</li><li>同じ決定論的トレンド ≠ 共和分</li><li>例：$X_t = t + \epsilon_{1t}$, $Y_t = t + \epsilon_{2t}
lt;/li></ul><p><strong>選択肢D: $X_t$ と $Y_t$ の差分が非定常である</strong></p><ul><li>❌ 差分は通常定常（$I(1) \to I(0)$）</li><li>共和分は線形結合の定常性</li><li>単純差分 ≠ 最適線形結合</li></ul>