時系列解析

ARIMAモデル、状態空間モデル、スペクトル解析、単位根検定など、時系列データの高度な分析手法

スペクトラムとペリオドグラムレベル2

定常時系列 $X_t = 2\cos(\frac{\pi t}{4}) + \varepsilon_t$ において、$\varepsilon_t \sim WN(0,1)$ とする。この時系列の主要な周波数成分の周期 $T$ を求めよ。

解説

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スペクトル解析の基礎

スペクトル解析は時系列を周波数領域で分析する手法で、隠れた周期性や循環パターンを検出できます。この問題では、三角関数形式の時系列から直接的に周期を計算します。

Step 1: 時系列の構成要素の確認

与えられた時系列：

$X_t = 2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) + \varepsilon_t$

この時系列は以下で構成されます：

Step 2: 角周波数の特定

一般的な三角関数$\cos(\omega t)$において、$\omega$は角周波数です。

与えられた関数：$2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$

これより角周波数は：

$\omega = \frac{\pi}{4}$

Step 3: 周期の導出

角周波数$\omega$と周期$T$の関係：

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

計算：

$T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2\pi \times 4}{\pi} = 8$

したがって、主要な周期は**8時点**です。

周波数と周期の関係

Step 4: データの時間パターン確認

$t = 1, 2, 3, \ldots, 8$での決定論的成分の値：

$t=1$: $2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41$
$t=2$: $2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0$
$t=3$: $2\cos(\frac{3\pi}{4}) = 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1.41$
$t=4$: $2\cos(\pi) = 2 \times (-1) = -2$
$t=5$: $2\cos(\frac{5\pi}{4}) = 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1.41$
$t=6$: $2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0$
$t=7$: $2\cos(\frac{7\pi}{4}) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41$
$t=8$: $2\cos(2\pi) = 2 \times 1 = 2$

$t=9$では$t=1$と同じ値に戻り、8時点の周期が確認されます。

Step 5: ペリオドグラムによる検証

ペリオドグラム$I(\omega)$は時系列の周波数成分の強度を示します：

$I(\omega) = \frac{1}{2\pi n}\left|\sum_{t=1}^{n} X_t e^{-i\omega t}\right|^2$

決定論的成分$2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$は、周波数$\omega = \frac{\pi}{4}$で鋭いピークを持ちます。

ホワイトノイズ成分$\varepsilon_t$は全周波数でフラットなスペクトラムを持ちます。

Step 6: 理論的スペクトル密度

この時系列の理論的スペクトル密度は：

$f(\omega) = 2\pi \delta\left(\omega - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi \delta\left(\omega + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{2\pi}$

ここで：

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