<h4>周波数解析：三角関数成分の周期特定</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>スペクトル解析の基礎</div><p>スペクトル解析は時系列を周波数領域で分析する手法で、隠れた周期性や循環パターンを検出できます。この問題では、三角関数形式の時系列から直接的に周期を計算します。</p></div><h4>与えられた時系列の分析</h4><p class='step'><strong>Step 1: 時系列の構成要素の確認</strong></p><p>与えられた時系列：</p><div class='formula'>$X_t = 2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) + \varepsilon_t
lt;/div><p>この時系列は以下で構成されます：</p><ul><li><strong>決定論的成分</strong>：$2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)
lt;/li><li><strong>確率的成分</strong>：$\varepsilon_t \sim WN(0,1)$（ホワイトノイズ）</li></ul><h4>三角関数の周波数解析</h4><p class='step'><strong>Step 2: 角周波数の特定</strong></p><p>一般的な三角関数$\cos(\omega t)$において、$\omega$は角周波数です。</p><p>与えられた関数：$2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)
lt;/p><p>これより角周波数は：</p><div class='formula'>$\omega = \frac{\pi}{4}
lt;/div><h4>周期の計算</h4><p class='step'><strong>Step 3: 周期の導出</strong></p><p>角周波数$\omega$と周期$T$の関係：</p><div class='formula'>$T = \frac{2\pi}{\omega}
lt;/div><p>計算：</p><div class='formula'>$T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = \frac{2\pi \times 4}{\pi} = 8
lt;/div><p>したがって、主要な周期は**8時点**です。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>周波数と周期の関係</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>量</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>記号</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>値</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>単位</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>角周波数</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\omega
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{\pi}{4} \approx 0.785
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ラジアン/時点</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周期</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$T
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>8</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>時点</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>頻度</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$f
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0.125</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>サイクル/時点</td></tr></table></div><h4>実際の時系列データでの確認</h4><p class='step'><strong>Step 4: データの時間パターン確認</strong></p><p>$t = 1, 2, 3, \ldots, 8$での決定論的成分の値：</p><ul><li>$t=1$: $2\cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41
lt;/li><li>$t=2$: $2\cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0
lt;/li><li>$t=3$: $2\cos(\frac{3\pi}{4}) = 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1.41
lt;/li><li>$t=4$: $2\cos(\pi) = 2 \times (-1) = -2
lt;/li><li>$t=5$: $2\cos(\frac{5\pi}{4}) = 2 \times (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \approx -1.41
lt;/li><li>$t=6$: $2\cos(\frac{3\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0
lt;/li><li>$t=7$: $2\cos(\frac{7\pi}{4}) = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1.41
lt;/li><li>$t=8$: $2\cos(2\pi) = 2 \times 1 = 2
lt;/li></ul><p>$t=9$では$t=1$と同じ値に戻り、8時点の周期が確認されます。</p><h4>ペリオドグラムでの理論的確認</h4><p class='step'><strong>Step 5: ペリオドグラムによる検証</strong></p><p>ペリオドグラム$I(\omega)$は時系列の周波数成分の強度を示します：</p><div class='formula'>$I(\omega) = \frac{1}{2\pi n}\left|\sum_{t=1}^{n} X_t e^{-i\omega t}\right|^2
lt;/div><p>決定論的成分$2\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right)$は、周波数$\omega = \frac{\pi}{4}$で鋭いピークを持ちます。</p><p>ホワイトノイズ成分$\varepsilon_t$は全周波数でフラットなスペクトラムを持ちます。</p><h4>スペクトル密度関数</h4><p class='step'><strong>Step 6: 理論的スペクトル密度</strong></p><p>この時系列の理論的スペクトル密度は：</p><div class='formula'>$f(\omega) = 2\pi \delta\left(\omega - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi \delta\left(\omega + \frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{2\pi}
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\delta(\cdot)$：ディラック・デルタ関数</li><li>第1・2項：$\pm\frac{\pi}{4}$での鋭いピーク（周期成分）</li><li>第3項：ホワイトノイズの平坦なスペクトラム</li></ul>