スペクトル解析：周波数領域での時系列理解
スペクトル解析の革新性
スペクトル解析は時系列を時間領域から周波数領域に変換することで、隠れた周期性や循環性を発見する強力な手法です。信号処理、経済学、気象学など幅広い分野で応用されています。
スペクトル密度関数の数学的基礎
Step 1: フーリエ変換による定義
定常時系列$\{X_t\}$のスペクトル密度関数は、自己共分散関数$\gamma(h)$のフーリエ変換として定義されます：
$f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma(h) e^{-ih\omega}$
ここで：
- $\omega \in [-\pi, \pi]$：正規化角周波数
- $\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t+h})$：ラグ$h$の自己共分散
- 収束条件：$\sum_{h=-\infty}^{\infty} |\gamma(h)| < \infty$
Wiener-Khintchineの定理
スペクトル表現定理により、自己共分散関数とスペクトル密度関数は互いにフーリエ変換の関係にあります：
$\gamma(h) = \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) e^{ih\omega} d\omega$
この双対性により、時間領域と周波数領域での解析が等価に行えます。
スペクトル密度の物理的解釈
Step 2: 周波数成分の分散分解
スペクトル密度関数$f(\omega)$は、各周波数$\omega$における時系列の「パワー」または分散への寄与を表します：
$\text{Var}(X_t) = \gamma(0) = \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega$
周波数帯域での分散：
周波数区間$[\omega_1, \omega_2]$における分散寄与：
$\int_{\omega_1}^{\omega_2} f(\omega) d\omega$
Step 3: 周期性の検出
スペクトル密度にピークが現れる周波数$\omega^*$は、対応する周期$T^* = \frac{2\pi}{\omega^*}$の強い周期性を示します。
| 周波数$\omega$ | 周期$T$ | 解釈（日次データ） |
|---|
| $\pi$ | 2 | 隔日変動 |
| $\frac{2\pi}{7}$ | 7 | 週次循環 |
| $\frac{2\pi}{30}$ | 30 | 月次循環 |
| $\frac{2\pi}{365}$ | 365 | 年次循環 |
具体的な時系列モデルのスペクトル密度
Step 4: 主要モデルの解析解
ホワイトノイズ：$X_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)$
$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} \quad \text{（フラットスペクトル）}$
AR(1)モデル：$X_t = \phi X_{t-1} + \epsilon_t$
$f(\omega) = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} \cdot \frac{1}{|1 - \phi e^{-i\omega}|^2} = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} \cdot \frac{1}{1 - 2\phi\cos\omega + \phi^2}$
MA(1)モデル：$X_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}$
$f(\omega) = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} |1 + \theta e^{-i\omega}|^2 = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} (1 + 2\theta\cos\omega + \theta^2)$
モデルパラメータとスペクトル形状
- $\phi > 0$ (AR)：低周波数にパワー集中（持続性）
- $\phi < 0$ (AR)：高周波数にパワー集中（振動性）
- $\theta > 0$ (MA)：低周波数でパワー減少
- $\theta < 0$ (MA)：高周波数でパワー減少
ピリオドグラムとスペクトル推定
Step 5: 標本スペクトルの構築
ピリオドグラム（生のスペクトル推定）：
$I(\omega_j) = \frac{1}{2\pi n} \left| \sum_{t=1}^{n} X_t e^{-it\omega_j} \right|^2$
ここで、$\omega_j = \frac{2\pi j}{n}$、$j = 0, 1, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor$
ピリオドグラムの性質：
- 漸近的不偏性：$E[I(\omega)] \to f(\omega)$ as $n \to \infty$
- 分散が収束しない：$\text{Var}(I(\omega)) \not\to 0$
- 独立性（近似的）：異なる周波数で独立
改良されたスペクトル推定法
Step 6: 平滑化スペクトル推定
1. Bartlett法（ピリオドグラム平均）
データを$K$個のセグメントに分割し、各セグメントのピリオドグラムを平均：
$\hat{f}_{Bartlett}(\omega) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} I_k(\omega)$
- 分散減少：$\text{Var}(\hat{f}) \approx \frac{f^2(\omega)}{K}$
- 解像度低下：周波数分解能が$K$倍粗くなる
2. Welch法（重複窓関数）
重複するセグメントと窓関数を使用：
$I_k^{(w)}(\omega) = \frac{1}{2\pi N U} \left| \sum_{t=1}^{N} w(t) X_{k,t} e^{-it\omega} \right|^2$
ここで、$w(t)$は窓関数（Hanning、Hamming等）、$U = \frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N} w^2(t)$
3. Blackman-Tukey法（ラグ窓）
標本自己共分散にラグ窓を適用：
$\hat{f}_{BT}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-M}^{M} w(h) \hat{\gamma}(h) e^{-ih\omega}$
| 手法 | 利点 | 欠点 | 適用場面 |
|---|
| Bartlett | シンプル、理解しやすい | 解像度低下 | 長時系列 |
| Welch | 分散とバイアスのバランス | パラメータ調整 | 一般的用途 |
| Blackman-Tukey | 理論的根拠明確 | ラグ窓選択 | 理論研究 |
多変量スペクトル解析
Step 7: 複数時系列の周波数解析
クロススペクトル密度：
2つの時系列$\{X_t\}$、$\{Y_t\}$に対して：
$f_{XY}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma_{XY}(h) e^{-ih\omega}$
コヒーレンス：
$\text{Coh}_{XY}(\omega) = \frac{|f_{XY}(\omega)|^2}{f_X(\omega) f_Y(\omega)} \in [0,1]$
位相スペクトル：
$\text{Phase}_{XY}(\omega) = \arg(f_{XY}(\omega))$