<h4>スペクトル解析：周波数領域での時系列理解</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>スペクトル解析の革新性</div><p>スペクトル解析は時系列を時間領域から周波数領域に変換することで、隠れた周期性や循環性を発見する強力な手法です。信号処理、経済学、気象学など幅広い分野で応用されています。</p></div><h4>スペクトル密度関数の数学的基礎</h4><p class='step'><strong>Step 1: フーリエ変換による定義</strong></p><p>定常時系列$\{X_t\}$のスペクトル密度関数は、自己共分散関数$\gamma(h)$のフーリエ変換として定義されます：</p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma(h) e^{-ih\omega}
lt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\omega \in [-\pi, \pi]$：正規化角周波数</li><li>$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t+h})$：ラグ$h$の自己共分散</li><li>収束条件：$\sum_{h=-\infty}^{\infty} |\gamma(h)| < \infty
lt;/li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>Wiener-Khintchineの定理</div><p>スペクトル表現定理により、自己共分散関数とスペクトル密度関数は互いにフーリエ変換の関係にあります：</p><div class='formula'>$\gamma(h) = \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) e^{ih\omega} d\omega
lt;/div><p>この双対性により、時間領域と周波数領域での解析が等価に行えます。</p></div><h4>スペクトル密度の物理的解釈</h4><p class='step'><strong>Step 2: 周波数成分の分散分解</strong></p><p>スペクトル密度関数$f(\omega)$は、各周波数$\omega$における時系列の「パワー」または分散への寄与を表します：</p><div class='formula'>$\text{Var}(X_t) = \gamma(0) = \int_{-\pi}^{\pi} f(\omega) d\omega
lt;/div><p><strong>周波数帯域での分散：</strong></p><p>周波数区間$[\omega_1, \omega_2]$における分散寄与：</p><div class='formula'>$\int_{\omega_1}^{\omega_2} f(\omega) d\omega
lt;/div><p class='step'><strong>Step 3: 周期性の検出</strong></p><p>スペクトル密度にピークが現れる周波数$\omega^*$は、対応する周期$T^* = \frac{2\pi}{\omega^*}$の強い周期性を示します。</p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周波数$\omega
lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>周期$T
lt;/th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>解釈（日次データ）</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\pi
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>2</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>隔日変動</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{2\pi}{7}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>7</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>週次循環</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{2\pi}{30}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>30</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>月次循環</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{2\pi}{365}
lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>365</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>年次循環</td></tr></table><h4>具体的な時系列モデルのスペクトル密度</h4><p class='step'><strong>Step 4: 主要モデルの解析解</strong></p><p><strong>ホワイトノイズ：</strong>$X_t \sim \text{WN}(0, \sigma^2)
lt;/p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma^2}{2\pi} \quad \text{（フラットスペクトル）}
lt;/div><p><strong>AR(1)モデル：</strong>$X_t = \phi X_{t-1} + \epsilon_t
lt;/p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} \cdot \frac{1}{|1 - \phi e^{-i\omega}|^2} = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} \cdot \frac{1}{1 - 2\phi\cos\omega + \phi^2}
lt;/div><p><strong>MA(1)モデル：</strong>$X_t = \epsilon_t + \theta \epsilon_{t-1}
lt;/p><div class='formula'>$f(\omega) = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} |1 + \theta e^{-i\omega}|^2 = \frac{\sigma_\epsilon^2}{2\pi} (1 + 2\theta\cos\omega + \theta^2)
lt;/div><div class='key-point'><div class='key-point-title'>モデルパラメータとスペクトル形状</div><ul><li><strong>$\phi > 0$ (AR)</strong>：低周波数にパワー集中（持続性）</li><li><strong>$\phi < 0$ (AR)</strong>：高周波数にパワー集中（振動性）</li><li><strong>$\theta > 0$ (MA)</strong>：低周波数でパワー減少</li><li><strong>$\theta < 0$ (MA)</strong>：高周波数でパワー減少</li></ul></div><h4>ピリオドグラムとスペクトル推定</h4><p class='step'><strong>Step 5: 標本スペクトルの構築</strong></p><p><strong>ピリオドグラム（生のスペクトル推定）：</strong></p><div class='formula'>$I(\omega_j) = \frac{1}{2\pi n} \left| \sum_{t=1}^{n} X_t e^{-it\omega_j} \right|^2
lt;/div><p>ここで、$\omega_j = \frac{2\pi j}{n}$、$j = 0, 1, \ldots, \lfloor n/2 \rfloor
lt;/p><p><strong>ピリオドグラムの性質：</strong></p><ul><li>漸近的不偏性：$E[I(\omega)] \to f(\omega)$ as $n \to \infty
lt;/li><li>分散が収束しない：$\text{Var}(I(\omega)) \not\to 0
lt;/li><li>独立性（近似的）：異なる周波数で独立</li></ul><h4>改良されたスペクトル推定法</h4><p class='step'><strong>Step 6: 平滑化スペクトル推定</strong></p><p><strong>1. Bartlett法（ピリオドグラム平均）</strong></p><p>データを$K$個のセグメントに分割し、各セグメントのピリオドグラムを平均：</p><div class='formula'>$\hat{f}_{Bartlett}(\omega) = \frac{1}{K} \sum_{k=1}^{K} I_k(\omega)
lt;/div><ul><li>分散減少：$\text{Var}(\hat{f}) \approx \frac{f^2(\omega)}{K}
lt;/li><li>解像度低下：周波数分解能が$K$倍粗くなる</li></ul><p><strong>2. Welch法（重複窓関数）</strong></p><p>重複するセグメントと窓関数を使用：</p><div class='formula'>$I_k^{(w)}(\omega) = \frac{1}{2\pi N U} \left| \sum_{t=1}^{N} w(t) X_{k,t} e^{-it\omega} \right|^2
lt;/div><p>ここで、$w(t)$は窓関数（Hanning、Hamming等）、$U = \frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N} w^2(t)
lt;/p><p><strong>3. Blackman-Tukey法（ラグ窓）</strong></p><p>標本自己共分散にラグ窓を適用：</p><div class='formula'>$\hat{f}_{BT}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-M}^{M} w(h) \hat{\gamma}(h) e^{-ih\omega}
lt;/div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>手法</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>利点</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>欠点</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>適用場面</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>Bartlett</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>シンプル、理解しやすい</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>解像度低下</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>長時系列</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>Welch</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>分散とバイアスのバランス</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>パラメータ調整</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>一般的用途</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>Blackman-Tukey</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>理論的根拠明確</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ラグ窓選択</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>理論研究</td></tr></table><h4>多変量スペクトル解析</h4><p class='step'><strong>Step 7: 複数時系列の周波数解析</strong></p><p><strong>クロススペクトル密度：</strong></p><p>2つの時系列$\{X_t\}$、$\{Y_t\}$に対して：</p><div class='formula'>$f_{XY}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \sum_{h=-\infty}^{\infty} \gamma_{XY}(h) e^{-ih\omega}
lt;/div><p><strong>コヒーレンス：</strong></p><div class='formula'>$\text{Coh}_{XY}(\omega) = \frac{|f_{XY}(\omega)|^2}{f_X(\omega) f_Y(\omega)} \in [0,1]
lt;/div><ul><li>0：線形無関係</li><li>1：完全な線形関係</li></ul><p><strong>位相スペクトル：</strong></p><div class='formula'>$\text{Phase}_{XY}(\omega) = \arg(f_{XY}(\omega))
lt;/div><ul><li>正：$X$が$Y$に先行</li><li>負：$Y$が$X$に先行</li></ul>