時系列解析

<h4>AR(1)過程の自己共分散：理論的計算</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>自己回帰過程の自己共分散構造</div><p>AR(1)過程の自己共分散は、過程の持続性と変動の大きさを表す重要な統計量です。自己共分散関数は時系列の記憶の強さと、ラグが増加するにつれてどのように減衰するかを示します。</p></div><h4>AR(1)過程の基本設定</h4><p class='step'><strong>Step 1: モデルの確認</strong></p><p>与えられたAR(1)過程：</p><div class='formula'>$X_t = 0.6X_{t-1} + \varepsilon_tlt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\phi = 0.6$：自己回帰係数</li><li>$\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2 = 9)$：ホワイトノイズ</li></ul><p><strong>定常性の確認：</strong></p><p>$|\phi| = 0.6 < 1$ なので、この過程は定常です。</p><h4>無条件分散の計算</h4><p class='step'><strong>Step 2: 分散 $\gamma(0)$ の導出</strong></p><p>AR(1)過程の無条件分散は：</p><div class='formula'>$\gamma(0) = \text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2}lt;/div><p>数値代入：</p><div class='formula'>$\gamma(0) = \frac{9}{1 - (0.6)^2} = \frac{9}{1 - 0.36} = \frac{9}{0.64} = 14.0625lt;/div><h4>自己共分散の一般形</h4><p class='step'><strong>Step 3: 自己共分散関数の理論</strong></p><p>AR(1)過程では、自己共分散関数は以下の形を持ちます：</p><div class='formula'>$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t-h}) = \phi^h \gamma(0)lt;/div><p>これは以下の理由で成り立ちます：</p><p>$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$ より：</p><div class='formula'>$\begin{align}\text{Cov}(X_t, X_{t-h}) &= \text{Cov}(\phi X_{t-1} + \varepsilon_t, X_{t-h}) \\&= \phi \text{Cov}(X_{t-1}, X_{t-h}) + \text{Cov}(\varepsilon_t, X_{t-h}) \\&= \phi \text{Cov}(X_{t-1}, X_{t-h})\end{align}lt;/div><p>最後の等式は$\varepsilon_t$と$X_{t-h}$ ($h \geq 1$) が独立であることから成り立ちます。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>AR(1)過程の自己共分散の性質</div><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ラグ</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>自己共分散</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>公式</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>意味</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>0</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\gamma(0)lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>分散（最大値）</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\gamma(1)lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\phi \gamma(0)lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>1期前との共分散</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>h</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\gamma(h)lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>$\phi^h \gamma(0)lt;/td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>指数的減衰</td></tr></table></div><h4>ラグ2での自己共分散の計算</h4><p class='step'><strong>Step 4: $\gamma(2)$ の具体的計算</strong></p><p>自己共分散の公式を用いて：</p><div class='formula'>$\gamma(2) = \phi^2 \gamma(0) = (0.6)^2 \times 14.0625lt;/div><div class='formula'>$\gamma(2) = 0.36 \times 14.0625 = 5.0625lt;/div><p><strong>計算の確認：</strong></p><div class='formula'>$\gamma(2) = \frac{\sigma^2 \phi^2}{1 - \phi^2} = \frac{9 \times (0.6)^2}{1 - (0.6)^2} = \frac{9 \times 0.36}{0.64} = \frac{3.24}{0.64} = 5.0625lt;/div>