AR(1)過程の自己共分散：理論的計算
自己回帰過程の自己共分散構造
AR(1)過程の自己共分散は、過程の持続性と変動の大きさを表す重要な統計量です。自己共分散関数は時系列の記憶の強さと、ラグが増加するにつれてどのように減衰するかを示します。
AR(1)過程の基本設定
Step 1: モデルの確認
与えられたAR(1)過程：
$X_t = 0.6X_{t-1} + \varepsilon_t$
ここで：
- $\phi = 0.6$：自己回帰係数
- $\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2 = 9)$：ホワイトノイズ
定常性の確認：
$|\phi| = 0.6 < 1$ なので、この過程は定常です。
無条件分散の計算
Step 2: 分散 $\gamma(0)$ の導出
AR(1)過程の無条件分散は：
$\gamma(0) = \text{Var}(X_t) = \frac{\sigma^2}{1 - \phi^2}$
数値代入：
$\gamma(0) = \frac{9}{1 - (0.6)^2} = \frac{9}{1 - 0.36} = \frac{9}{0.64} = 14.0625$
自己共分散の一般形
Step 3: 自己共分散関数の理論
AR(1)過程では、自己共分散関数は以下の形を持ちます：
$\gamma(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t-h}) = \phi^h \gamma(0)$
これは以下の理由で成り立ちます：
$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$ より：
$\begin{align}\text{Cov}(X_t, X_{t-h}) &= \text{Cov}(\phi X_{t-1} + \varepsilon_t, X_{t-h}) \\&= \phi \text{Cov}(X_{t-1}, X_{t-h}) + \text{Cov}(\varepsilon_t, X_{t-h}) \\&= \phi \text{Cov}(X_{t-1}, X_{t-h})\end{align}$
最後の等式は$\varepsilon_t$と$X_{t-h}$ ($h \geq 1$) が独立であることから成り立ちます。
AR(1)過程の自己共分散の性質
| ラグ | 自己共分散 | 公式 | 意味 |
|---|
| 0 | $\gamma(0)$ | $\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}$ | 分散（最大値） |
| 1 | $\gamma(1)$ | $\phi \gamma(0)$ | 1期前との共分散 |
| h | $\gamma(h)$ | $\phi^h \gamma(0)$ | 指数的減衰 |
ラグ2での自己共分散の計算
Step 4: $\gamma(2)$ の具体的計算
自己共分散の公式を用いて：
$\gamma(2) = \phi^2 \gamma(0) = (0.6)^2 \times 14.0625$
$\gamma(2) = 0.36 \times 14.0625 = 5.0625$
計算の確認：
$\gamma(2) = \frac{\sigma^2 \phi^2}{1 - \phi^2} = \frac{9 \times (0.6)^2}{1 - (0.6)^2} = \frac{9 \times 0.36}{0.64} = \frac{3.24}{0.64} = 5.0625$