ベクトル自己回帰（VAR）モデル：多変量時系列分析の核心
VARモデルの意義
ベクトル自己回帰（VAR）モデルは、マクロ経済分析の標準的ツールとなっています。構造方程式モデルの識別問題を回避し、データに語らせる（let the data speak）アプローチにより、経済変数間の動学的相互作用を包括的に分析します。
VARモデルの数学的構造
Step 1: 一般的なVAR(p)モデル
$n$変量VAR(p)モデルの定義：
$\mathbf{Y}_t = \mathbf{A}_1 \mathbf{Y}_{t-1} + \mathbf{A}_2 \mathbf{Y}_{t-2} + \cdots + \mathbf{A}_p \mathbf{Y}_{t-p} + \boldsymbol{\epsilon}_t$
ここで：
- $\mathbf{Y}_t = (y_{1t}, y_{2t}, \ldots, y_{nt})^T$：$n$次元内生変数ベクトル
- $\mathbf{A}_i$：$n \times n$係数行列（$i = 1, 2, \ldots, p$）
- $\boldsymbol{\epsilon}_t \sim \text{iid}(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$：誤差項ベクトル
コンパニオン形式（Companion Form）：
VAR(p)をVAR(1)に変換：
$\mathbf{Z}_t = \mathbf{A} \mathbf{Z}_{t-1} + \mathbf{v}_t$
ここで：
$\mathbf{Z}_t = \begin{pmatrix} \mathbf{Y}_t \\ \mathbf{Y}_{t-1} \\ \vdots \\ \mathbf{Y}_{t-p+1} \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \cdots & \mathbf{A}_{p-1} & \mathbf{A}_p \\ \mathbf{I}_n & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{I}_n & \cdots & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{I}_n & \mathbf{0} \end{pmatrix}$
VAR(1)モデルの定常性条件
Step 2: 具体的な2変量VAR(1)の分析
問題のモデル：
$\begin{pmatrix} y_{1t} \\ y_{2t} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.3 & 0.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \epsilon_{1t} \\ \epsilon_{2t} \end{pmatrix}$
係数行列：
$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\ 0.3 & 0.4 \end{pmatrix}$
定常性の必要十分条件：
VAR(1)モデルが定常となる条件は、係数行列$\mathbf{A}$のすべての固有値の絶対値（モジュラス）が1未満であることです。
多変量定常性の理論
VAR(1)モデル $\mathbf{Y}_t = \mathbf{A} \mathbf{Y}_{t-1} + \boldsymbol{\epsilon}_t$ が定常となる必要十分条件：
$|\lambda_i| < 1 \quad \text{for all } i = 1, 2, \ldots, n$
ここで、$\lambda_i$は特性方程式 $\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0$ の根
固有値の詳細計算
Step 3: 特性方程式の解法
特性方程式：
$\det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = \det\begin{pmatrix} 0.5 - \lambda & 0.2 \\ 0.3 & 0.4 - \lambda \end{pmatrix} = 0$
行列式の展開：
$(0.5 - \lambda)(0.4 - \lambda) - (0.2)(0.3) = 0$
$0.2 - 0.5\lambda - 0.4\lambda + \lambda^2 - 0.06 = 0$
$\lambda^2 - 0.9\lambda + 0.14 = 0$
二次方程式の解：
$\lambda = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.81 - 4(0.14)}}{2} = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.81 - 0.56}}{2} = \frac{0.9 \pm \sqrt{0.25}}{2}$
$\lambda_1 = \frac{0.9 + 0.5}{2} = 0.7, \quad \lambda_2 = \frac{0.9 - 0.5}{2} = 0.2$
定常性の判定：
- $|\lambda_1| = 0.7 < 1$ ✓
- $|\lambda_2| = 0.2 < 1$ ✓
両方の固有値の絶対値が1未満なので、このVARモデルは定常です。
固有値と動学的性質の関係
Step 4: 固有値の経済的解釈
固有値の分類と経済的意味
| 固有値の性質 | 条件 | 動学的挙動 | 経済的解釈 |
|---|
| 実固有値 > 0 | $0 < \lambda < 1$ | 単調収束 | ショックの平滑な減衰 |
| 実固有値 < 0 | $-1 < \lambda < 0$ | 振動収束 | 交互変動パターン |
| 複素固有値 | $|\lambda| < 1$ | 周期的収束 | 景気循環パターン |
| 単位根 | $|\lambda| = 1$ | 永続性 | 長期記憶、共和分 |
| 爆発根 | $|\lambda| > 1$ | 発散 | 不安定、バブル |
本問題での固有値分析：
- $\lambda_1 = 0.7$：主要な固有値、比較的高い持続性
- $\lambda_2 = 0.2$：副次的固有値、速い減衰
- 両方とも正の実数：振動なしの滑らかな調整過程
VARモデルの推定と診断
Step 5: 最尤推定法
OLS推定の妥当性：
VARモデルでは、すべての変数が内生的でも、各方程式を個別にOLS推定することで一致推定量が得られます：
$\hat{\mathbf{A}}_i = \left( \sum_{t=1}^T \mathbf{Y}_{t-i} \mathbf{Y}_{t-i}^T \right)^{-1} \sum_{t=1}^T \mathbf{Y}_{t-i} \mathbf{Y}_t^T$
システム推定（SUR）：
効率性の改善のため、見かけ上無関係回帰（SUR）による同時推定：
$\hat{\boldsymbol{\theta}} = \left( \mathbf{X}^T (\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \otimes \mathbf{I}_T) \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^T (\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \otimes \mathbf{I}_T) \mathbf{y}$
VARモデルの次数選択
Step 6: 情報規準による選択
VAR次数選択規準
| 規準 | 式 | 特徴 |
|---|
| AIC | $\log|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}| + \frac{2pn^2}{T}$ | 予測重視、高次選択傾向 |
| BIC | $\log|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}| + \frac{pn^2 \log T}{T}$ | 簡潔性重視、低次選択傾向 |
| HQ | $\log|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}| + \frac{2pn^2 \log \log T}{T}$ | 中間的性質 |
| FPE | $|\hat{\boldsymbol{\Sigma}}| \left( \frac{T+pn}{T-pn} \right)^n$ | 最終予測誤差最小化 |
VARモデルの診断検定
Step 7: モデル妥当性の検証
1. 系列相関検定（Portmanteau Test）：
$LM = T \sum_{h=1}^{H} \text{tr}(\hat{\mathbf{C}}_h^T \hat{\mathbf{C}}_0^{-1} \hat{\mathbf{C}}_h \hat{\mathbf{C}}_0^{-1}) \sim \chi^2(n^2(H-p))$
2. 異分散性検定（Multivariate ARCH Test）：
$\text{vec}(\hat{\mathbf{E}}_t \hat{\mathbf{E}}_t^T) = \mathbf{c} + \mathbf{D} \text{vec}(\hat{\mathbf{E}}_{t-1} \hat{\mathbf{E}}_{t-1}^T) + \mathbf{u}_t$
3. 正規性検定（Jarque-Bera Test）：
$JB = \frac{T}{6} \left( \mathbf{S}^T \mathbf{S} + \frac{(\mathbf{K} - 3)^T (\mathbf{K} - 3)}{4} \right) \sim \chi^2(2n)$
ここで、$\mathbf{S}$は歪度ベクトル、$\mathbf{K}$は尖度ベクトル
構造VARとの関係
Step 8: 識別問題と構造分析
構造VAR（SVAR）：
$\mathbf{B}_0 \mathbf{Y}_t = \mathbf{B}_1 \mathbf{Y}_{t-1} + \cdots + \mathbf{B}_p \mathbf{Y}_{t-p} + \boldsymbol{\eta}_t$
誘導形VAR：
$\mathbf{Y}_t = \mathbf{A}_1 \mathbf{Y}_{t-1} + \cdots + \mathbf{A}_p \mathbf{Y}_{t-p} + \boldsymbol{\epsilon}_t$
関係式：$\mathbf{A}_i = \mathbf{B}_0^{-1} \mathbf{B}_i$、$\boldsymbol{\epsilon}_t = \mathbf{B}_0^{-1} \boldsymbol{\eta}_t$
識別のための制約
- 短期制約：$\mathbf{B}_0$への制約（Cholesky分解等）
- 長期制約：長期乗数行列への制約
- 符号制約：インパルス応答の符号制限
- 外部情報：経済理論に基づく制約
選択肢の詳細検討
Step 9: 各選択肢の分析
選択肢A: すべての固有値の絶対値が1未満なので定常である
- ✓ 理論的に正しい：VARの定常性条件
- ✓ 計算結果と整合：$|0.7| < 1$、$|0.2| < 1$
- ✓ 数学的厳密性：必要十分条件を正確に記述
選択肢B: 行列式が正なので定常である
- ❌ 論理的誤り：行列式の符号と定常性は無関係
- ❌ $\det(\mathbf{A}) = 0.14 > 0$ だが、これは定常性の条件ではない
- ❌ 反例存在：行列式が正でも非定常なケース多数
選択肢C: すべての固有値の絶対値が1以下なので定常である
- ❌ 条件の緩さ：$|\lambda| = 1$を含むと単位根で非定常
- ❌ 境界値問題：等号を含むと定常性が失われる
- ❌ 数学的不正確性：厳密には「未満」が必要
選択肢D: トレースが1未満なので定常である
- ❌ 必要条件の不十分性：$\text{tr}(\mathbf{A}) = 0.9 < 1$ だが十分条件ではない
- ❌ 反例の存在：トレースが小さくても非定常な場合あり
- ❌ 理論的根拠の欠如：定常性とトレースの直接関係なし