ベクトル自己回帰（VAR）モデル：多変量時系列分析の核心
VARモデルの意義
ベクトル自己回帰（VAR）モデルは、マクロ経済分析の標準的ツールとなっています。構造方程式モデルの識別問題を回避し、データに語らせる（let the data speak）アプローチにより、経済変数間の動学的相互作用を包括的に分析します。
VARモデルの数学的構造
Step 1: 一般的なVAR(p)モデル
$n$変量VAR(p)モデルの定義：
$\\mathbf{Y}_t = \\mathbf{A}_1 \\mathbf{Y}_{t-1} + \\mathbf{A}_2 \\mathbf{Y}_{t-2} + \\cdots + \\mathbf{A}_p \\mathbf{Y}_{t-p} + \\boldsymbol{\\epsilon}_t$
ここで：
- $\\mathbf{Y}_t = (y_{1t}, y_{2t}, \\ldots, y_{nt})^T$：$n$次元内生変数ベクトル
- $\\mathbf{A}_i$：$n \\times n$係数行列（$i = 1, 2, \\ldots, p$）
- $\\boldsymbol{\\epsilon}_t \\sim \\text{iid}(\\mathbf{0}, \\boldsymbol{\\Sigma})$：誤差項ベクトル
コンパニオン形式（Companion Form）：
VAR(p)をVAR(1)に変換：
$\\mathbf{Z}_t = \\mathbf{A} \\mathbf{Z}_{t-1} + \\mathbf{v}_t$
ここで：
$\\mathbf{Z}_t = \\begin{pmatrix} \\mathbf{Y}_t \\\\ \\mathbf{Y}_{t-1} \\\\ \\vdots \\\\ \\mathbf{Y}_{t-p+1} \\end{pmatrix}, \\quad \\mathbf{A} = \\begin{pmatrix} \\mathbf{A}_1 & \\mathbf{A}_2 & \\cdots & \\mathbf{A}_{p-1} & \\mathbf{A}_p \\\\ \\mathbf{I}_n & \\mathbf{0} & \\cdots & \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{I}_n & \\cdots & \\mathbf{0} & \\mathbf{0} \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots \\\\ \\mathbf{0} & \\mathbf{0} & \\cdots & \\mathbf{I}_n & \\mathbf{0} \\end{pmatrix}$
VAR(1)モデルの定常性条件
Step 2: 具体的な2変量VAR(1)の分析
問題のモデル：
$\\begin{pmatrix} y_{1t} \\\\ y_{2t} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\\\ 0.3 & 0.4 \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} y_{1,t-1} \\\\ y_{2,t-1} \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} \\epsilon_{1t} \\\\ \\epsilon_{2t} \\end{pmatrix}$
係数行列：
$\\mathbf{A} = \\begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \\\\ 0.3 & 0.4 \\end{pmatrix}$
定常性の必要十分条件：
VAR(1)モデルが定常となる条件は、係数行列$\\mathbf{A}$のすべての固有値の絶対値（モジュラス）が1未満であることです。
多変量定常性の理論
VAR(1)モデル $\\mathbf{Y}_t = \\mathbf{A} \\mathbf{Y}_{t-1} + \\boldsymbol{\\epsilon}_t$ が定常となる必要十分条件：
$|\\lambda_i| < 1 \\quad \\text{for all } i = 1, 2, \\ldots, n$
ここで、$\\lambda_i$は特性方程式 $\\det(\\mathbf{A} - \\lambda \\mathbf{I}) = 0$ の根
固有値の詳細計算
Step 3: 特性方程式の解法
特性方程式：
$\\det(\\mathbf{A} - \\lambda \\mathbf{I}) = \\det\\begin{pmatrix} 0.5 - \\lambda & 0.2 \\\\ 0.3 & 0.4 - \\lambda \\end{pmatrix} = 0$
行列式の展開：
$(0.5 - \\lambda)(0.4 - \\lambda) - (0.2)(0.3) = 0$
$0.2 - 0.5\\lambda - 0.4\\lambda + \\lambda^2 - 0.06 = 0$
$\\lambda^2 - 0.9\\lambda + 0.14 = 0$
二次方程式の解：
$\\lambda = \\frac{0.9 \\pm \\sqrt{0.81 - 4(0.14)}}{2} = \\frac{0.9 \\pm \\sqrt{0.81 - 0.56}}{2} = \\frac{0.9 \\pm \\sqrt{0.25}}{2}$
$\\lambda_1 = \\frac{0.9 + 0.5}{2} = 0.7, \\quad \\lambda_2 = \\frac{0.9 - 0.5}{2} = 0.2$
定常性の判定：
- $|\\lambda_1| = 0.7 < 1$ ✓
- $|\\lambda_2| = 0.2 < 1$ ✓
両方の固有値の絶対値が1未満なので、このVARモデルは定常です。
固有値と動学的性質の関係
Step 4: 固有値の経済的解釈
固有値の分類と経済的意味
| 固有値の性質 | 条件 | 動学的挙動 | 経済的解釈 |
|---|
| 実固有値 > 0 | $0 < \\lambda < 1$ | 単調収束 | ショックの平滑な減衰 |
| 実固有値 < 0 | $-1 < \\lambda < 0$ | 振動収束 | 交互変動パターン |
| 複素固有値 | $|\\lambda| < 1$ | 周期的収束 | 景気循環パターン |
| 単位根 | $|\\lambda| = 1$ | 永続性 | 長期記憶、共和分 |
| 爆発根 | $|\\lambda| > 1$ | 発散 | 不安定、バブル |
本問題での固有値分析：
- $\\lambda_1 = 0.7$：主要な固有値、比較的高い持続性
- $\\lambda_2 = 0.2$：副次的固有値、速い減衰
- 両方とも正の実数：振動なしの滑らかな調整過程
VARモデルの推定と診断
Step 5: 最尤推定法
OLS推定の妥当性：
VARモデルでは、すべての変数が内生的でも、各方程式を個別にOLS推定することで一致推定量が得られます：
$\\hat{\\mathbf{A}}_i = \\left( \\sum_{t=1}^T \\mathbf{Y}_{t-i} \\mathbf{Y}_{t-i}^T \\right)^{-1} \\sum_{t=1}^T \\mathbf{Y}_{t-i} \\mathbf{Y}_t^T$
システム推定（SUR）：
効率性の改善のため、見かけ上無関係回帰（SUR）による同時推定：
$\\hat{\\boldsymbol{\\theta}} = \\left( \\mathbf{X}^T (\\boldsymbol{\\Sigma}^{-1} \\otimes \\mathbf{I}_T) \\mathbf{X} \\right)^{-1} \\mathbf{X}^T (\\boldsymbol{\\Sigma}^{-1} \\otimes \\mathbf{I}_T) \\mathbf{y}$
VARモデルの次数選択
Step 6: 情報規準による選択
VAR次数選択規準
| 規準 | 式 | 特徴 |
|---|
| AIC | $\\log|\\hat{\\boldsymbol{\\Sigma}}| + \\frac{2pn^2}{T}$ | 予測重視、高次選択傾向 |
| BIC | $\\log|\\hat{\\boldsymbol{\\Sigma}}| + \\frac{pn^2 \\log T}{T}$ | 簡潔性重視、低次選択傾向 |
| HQ | $\\log|\\hat{\\boldsymbol{\\Sigma}}| + \\frac{2pn^2 \\log \\log T}{T}$ | 中間的性質 |
| FPE | $|\\hat{\\boldsymbol{\\Sigma}}| \\left( \\frac{T+pn}{T-pn} \\right)^n$ | 最終予測誤差最小化 |
VARモデルの診断検定
Step 7: モデル妥当性の検証
1. 系列相関検定（Portmanteau Test）：
$LM = T \\sum_{h=1}^{H} \\text{tr}(\\hat{\\mathbf{C}}_h^T \\hat{\\mathbf{C}}_0^{-1} \\hat{\\mathbf{C}}_h \\hat{\\mathbf{C}}_0^{-1}) \\sim \\chi^2(n^2(H-p))$
2. 異分散性検定（Multivariate ARCH Test）：
$\\text{vec}(\\hat{\\mathbf{E}}_t \\hat{\\mathbf{E}}_t^T) = \\mathbf{c} + \\mathbf{D} \\text{vec}(\\hat{\\mathbf{E}}_{t-1} \\hat{\\mathbf{E}}_{t-1}^T) + \\mathbf{u}_t$
3. 正規性検定（Jarque-Bera Test）：
$JB = \\frac{T}{6} \\left( \\mathbf{S}^T \\mathbf{S} + \\frac{(\\mathbf{K} - 3)^T (\\mathbf{K} - 3)}{4} \\right) \\sim \\chi^2(2n)$
ここで、$\\mathbf{S}$は歪度ベクトル、$\\mathbf{K}$は尖度ベクトル
構造VARとの関係
Step 8: 識別問題と構造分析
構造VAR（SVAR）：
$\\mathbf{B}_0 \\mathbf{Y}_t = \\mathbf{B}_1 \\mathbf{Y}_{t-1} + \\cdots + \\mathbf{B}_p \\mathbf{Y}_{t-p} + \\boldsymbol{\\eta}_t$
誘導形VAR：
$\\mathbf{Y}_t = \\mathbf{A}_1 \\mathbf{Y}_{t-1} + \\cdots + \\mathbf{A}_p \\mathbf{Y}_{t-p} + \\boldsymbol{\\epsilon}_t$
関係式：$\\mathbf{A}_i = \\mathbf{B}_0^{-1} \\mathbf{B}_i$、$\\boldsymbol{\\epsilon}_t = \\mathbf{B}_0^{-1} \\boldsymbol{\\eta}_t$
識別のための制約
- 短期制約：$\\mathbf{B}_0$への制約（Cholesky分解等）
- 長期制約：長期乗数行列への制約
- 符号制約：インパルス応答の符号制限
- 外部情報：経済理論に基づく制約
選択肢の詳細検討
Step 9: 各選択肢の分析
選択肢A: すべての固有値の絶対値が1未満なので定常である
- ✓ 理論的に正しい：VARの定常性条件
- ✓ 計算結果と整合：$|0.7| < 1$、$|0.2| < 1$
- ✓ 数学的厳密性：必要十分条件を正確に記述
選択肢B: 行列式が正なので定常である
- ❌ 論理的誤り：行列式の符号と定常性は無関係
- ❌ $\\det(\\mathbf{A}) = 0.14 > 0$ だが、これは定常性の条件ではない
- ❌ 反例存在：行列式が正でも非定常なケース多数
選択肢C: すべての固有値の絶対値が1以下なので定常である
- ❌ 条件の緩さ：$|\\lambda| = 1$を含むと単位根で非定常
- ❌ 境界値問題：等号を含むと定常性が失われる
- ❌ 数学的不正確性：厳密には「未満」が必要
選択肢D: トレースが1未満なので定常である
- ❌ 必要条件の不十分性：$\\text{tr}(\\mathbf{A}) = 0.9 < 1$ だが十分条件ではない
- ❌ 反例の存在：トレースが小さくても非定常な場合あり
- ❌ 理論的根拠の欠如：定常性とトレースの直接関係なし