MA過程の自己共分散：移動平均過程の記憶構造
MA過程の理論的重要性
移動平均（MA：Moving Average）過程は、時系列分析の基本構成要素の一つで、短期的な記憶効果とショックの有限期間での減衰を表現します。AR過程の無限記憶とは対照的に、MA過程は有限記憶を持ち、経済・ファイナンスにおける一時的ショックの効果をモデル化するのに適しています。Box-Jenkins法における重要な要素であり、ARMA・ARIMAモデルの構成部分として広く使用されています。
MA(q)過程の一般的性質
Step 1: MA過程の定義と基本性質
MA(q)過程の一般形：
$X_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}$
ここで、$\epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$（ホワイトノイズ）
ラグ演算子表記：
$X_t = \theta(L)\epsilon_t = (1 + \theta_1 L + \theta_2 L^2 + \cdots + \theta_q L^q)\epsilon_t$
MA過程の基本性質
- 常に定常：係数に関わらず自動的に定常過程
- 有限記憶：ショックの影響は最大$q$期間で消失
- 可逆性条件：$\theta(z) = 0$の根がすべて単位円外で AR表現可能
- 線形性：過去のショックの線形結合
MA(2)過程の自己共分散の導出
Step 2: 具体的なMA(2)モデルの分析
問題のMA(2)過程：
$X_t = \epsilon_t + 0.5\epsilon_{t-1} + 0.3\epsilon_{t-2}$
つまり、$\theta_1 = 0.5$、$\theta_2 = 0.3$、$\sigma^2 = 4$
自己共分散の一般公式：
MA(q)過程の自己共分散は以下の公式で計算されます：
$\gamma(h) = \begin{cases} \sigma^2 \sum_{j=0}^{q-h} \theta_j \theta_{j+h} & \text{if } 0 \leq h \leq q \\ 0 & \text{if } h > q \end{cases}$
ここで、$\theta_0 = 1$（慣例）
Step 3: ラグ0（分散）の計算
$\gamma(0) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{2} \theta_j^2 = \sigma^2 (\theta_0^2 + \theta_1^2 + \theta_2^2)$
$= 4 \times (1^2 + 0.5^2 + 0.3^2) = 4 \times (1 + 0.25 + 0.09) = 4 \times 1.34 = 5.36$
Step 4: ラグ1の自己共分散の計算
$h = 1$の場合：
$\gamma(1) = \sigma^2 \sum_{j=0}^{2-1} \theta_j \theta_{j+1} = \sigma^2 \sum_{j=0}^{1} \theta_j \theta_{j+1}$
$= \sigma^2 (\theta_0 \theta_1 + \theta_1 \theta_2)$
$= 4 \times (1 \times 0.5 + 0.5 \times 0.3)$
$= 4 \times (0.5 + 0.15) = 4 \times 0.65 = 2.6$