時系列解析

<h4>ディッキーフラー検定：単位根の統計的検定</h4><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ディッキーフラー検定の基本概念</div><p>ディッキーフラー（Dickey-Fuller）検定は、時系列の定常性を統計的に検定する最も重要な手法の一つです。Dickey & Fuller（1979, 1981）によって開発されたこの検定は、時系列に単位根が存在するかどうか、すなわち非定常性を検定します。経済・金融時系列分析において、共和分分析、誤差修正モデル、VARモデルの前処理として使われる手法です。</p></div><h4>ディッキーフラー検定の理論的基盤</h4><p class='step'><strong>Step 1: 単位根過程の定義</strong></p><p><strong>基本的な単位根過程（ランダムウォーク）：</strong></p><div class='formula'>$y_t = y_{t-1} + \epsilon_tlt;/div><p><strong>より一般的な形：</strong></p><div class='formula'>$y_t = \rho y_{t-1} + \epsilon_tlt;/div><p>ここで：</p><ul><li>$\rho = 1$：単位根が存在（非定常）</li><li>$|\rho| < 1$：定常過程</li><li>$\epsilon_t \sim \text{iid}(0, \sigma^2)$：ホワイトノイズ</li></ul><div class='key-point'><div class='key-point-title'>単位根の経済的意味</div><p>単位根の存在は重要な経済的含意を持ちます：</p><ol><li><strong>ショックの永続性</strong>：外的ショックの影響が永続的に残る</li><li><strong>予測の限界</strong>：長期予測の分散が時間とともに増大</li><li><strong>政策効果</strong>：一時的政策が永続的影響を持つ可能性</li><li><strong>共和分関係</strong>：複数の非定常変数間の長期均衡関係</li></ol></div><h4>ディッキーフラー検定の手順</h4><p class='step'><strong>Step 2: 検定回帰式の設定</strong></p><p><strong>変換後の回帰式：</strong></p><p>$y_t = \rho y_{t-1} + \epsilon_t$ を $\Delta y_t = \gamma y_{t-1} + \epsilon_t$ に変換</p><p>ここで、$\gamma = \rho - 1lt;/p><p><strong>3つの基本モデル：</strong></p><ol><li><strong>Model 1</strong>：$\Delta y_t = \gamma y_{t-1} + \epsilon_t$ （定数項・トレンドなし）</li><li><strong>Model 2</strong>：$\Delta y_t = \alpha + \gamma y_{t-1} + \epsilon_t$ （定数項あり）</li><li><strong>Model 3</strong>：$\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \epsilon_t$ （定数項・トレンドあり）</li></ol><p>問題では <strong>Model 3</strong> が使用されています。</p><p class='step'><strong>Step 3: 仮説の設定</strong></p><div class='formula'>$H_0: \gamma = 0 \quad \text{（単位根存在、非定常）}lt;/div><div class='formula'>$H_1: \gamma < 0 \quad \text{（定常）}lt;/div><p><strong>検定統計量：</strong></p><div class='formula'>$DF = \frac{\hat{\gamma}}{\text{se}(\hat{\gamma})}lt;/div><h4>問題の具体的計算</h4><p class='step'><strong>Step 4: 検定統計量の計算</strong></p><p>与えられた値：</p><ul><li>$\hat{\gamma} = -0.025lt;/li><li>$\text{se}(\hat{\gamma}) = 0.008lt;/li><li>5%臨界値 = -3.45</li></ul><p><strong>ディッキーフラー統計量：</strong></p><div class='formula'>$DF = \frac{-0.025}{0.008} = -3.125lt;/div><p class='step'><strong>Step 5: 判定基準の適用</strong></p><p><strong>判定ルール：</strong></p><ul><li>$DF < \text{臨界値}$ → $H_0$を棄却（定常）</li><li>$DF \geq \text{臨界値}$ → $H_0$を棄却できない（非定常）</li></ul><p><strong>本問での判定：</strong></p><div class='formula'>$DF = -3.125 > -3.45 \text{（臨界値）}lt;/div><p>検定統計量が臨界値より大きい（絶対値では小さい）ため、帰無仮説を<strong>棄却できません</strong>。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>重要な注意点</div><p>ディッキーフラー検定では：</p><ul><li><strong>左側検定</strong>：$H_1: \gamma < 0$ なので左側検定</li><li><strong>臨界値は負の値</strong>：通常 -3.45 程度</li><li><strong>検定統計量 < 臨界値</strong> で棄却（統計量がより負の値）</li><li><strong>大きいの解釈</strong>：-3.125 > -3.45（-3.125の方が0に近い）</li></ul></div><h4>各選択肢の詳細検討</h4><p class='step'><strong>Step 6: 選択肢の分析</strong></p><p><strong>選択肢A: 単位根が存在するという帰無仮説を棄却できない（非定常）</strong></p><ul><li>✓ 計算結果と一致：$DF = -3.125 > -3.45lt;/li><li>✓ 統計的結論として正しい</li><li>✓ 5%有意水準での判定が適切</li></ul><p><strong>選択肢B: 単位根が存在するという帰無仮説を棄却する（定常）</strong></p><ul><li>❌ 計算結果と矛盾：検定統計量が臨界値を下回らない</li><li>❌ 統計的判定の誤り</li><li>❌ Type I error を犯すリスク</li></ul><p><strong>選択肢C: 検定統計量が臨界値より大きいため判定不可能</strong></p><ul><li>❌ 判定は可能：統計量 > 臨界値 → 棄却できない</li><li>❌ 統計的手続きの理解不足</li><li>❌ 明確な判定基準が存在</li></ul><p><strong>選択肢D: ディッキーフラー検定は適用できない</strong></p><ul><li>❌ 適用条件を満たしている</li><li>❌ 時系列データに対する標準的手法</li><li>❌ 問題設定に不適切</li></ul><h4>Augmented Dickey-Fuller（ADF）検定との関係</h4><p class='step'><strong>Step 7: 系列相関への対応</strong></p><p><strong>基本DF検定の限界：</strong></p><p>誤差項 $\epsilon_t$ にホワイトノイズの仮定が必要ですが、実際の時系列では系列相関が存在することが多いです。</p><p><strong>ADF検定への拡張：</strong></p><div class='formula'>$\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \Delta y_{t-i} + \epsilon_tlt;/div><p>ラグ項 $\sum_{i=1}^{p} \delta_i \Delta y_{t-i}$ の追加により系列相関を調整</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>ラグ次数の選択方法</div><ol><li><strong>情報規準</strong>：AIC、BICによる最適ラグ選択</li><li><strong>t-sig法</strong>：最高次ラグの有意性による順次削減</li><li><strong>一般から特殊へ</strong>：高次から開始して有意でないラグを除去</li><li><strong>診断検定</strong>：残差の系列無相関性確認</li></ol></div><h4>他の単位根検定との比較</h4><p class='step'><strong>Step 8: 代替的検定手法</strong></p><table style='width:100%; border-collapse: collapse; margin: 1em 0;'><tr style='background-color: #f5f5f5;'><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>検定</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>帰無仮説</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>特徴</th><th style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>適用場面</th></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>ADF</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>単位根存在</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>系列相関対応</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>一般的用途</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>Phillips-Perron</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>単位根存在</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ノンパラメトリック修正</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>構造変化がある場合</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>KPSS</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>定常性</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>逆の帰無仮説</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>ADFとの補完使用</td></tr><tr><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'><strong>DF-GLS</strong></td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>単位根存在</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>検定力改善</td><td style='border: 1px solid #ddd; padding: 8px;'>near-unit root</td></tr></table><h4>検定力と小標本問題</h4><p class='step'><strong>Step 9: 統計的検定力の課題</strong></p><p><strong>ディッキーフラー検定の限界：</strong></p><ol><li><strong>低い検定力</strong>：$\rho \approx 0.95$ の場合、単位根を棄却しにくい</li><li><strong>小標本バイアス</strong>：有限標本では臨界値が理論値と乖離</li><li><strong>構造変化の影響</strong>：構造変化があると単位根を過度に受容</li></ol><p><strong>検定力改善のアプローチ：</strong></p><ul><li><strong>DF-GLS検定</strong>：局所的脱トレンド化による効率性向上</li><li><strong>ERS Point Optimal Test</strong>：特定の対立仮説に対する最適検定</li><li><strong>Ng-Perron検定</strong>：小標本での検定力改善</li></ul><h4>実証研究での解釈</h4><p class='step'><strong>Step 10: 経済学的含意</strong></p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>単位根検定結果の解釈</div><p><strong>単位根が存在する場合（非定常）：</strong></p><ol><li><strong>ショックの永続性</strong>：一時的ショックが永続的影響</li><li><strong>予測の困難性</strong>：長期予測の信頼区間が拡大</li><li><strong>差分の定常性</strong>：I(1)過程として1回差分で定常化</li><li><strong>共和分の可能性</strong>：他のI(1)変数との長期関係</li></ol><p><strong>政策的含意：</strong></p><ul><li><strong>金融政策</strong>：一時的な金利変更が永続的影響を持つ可能性</li><li><strong>財政政策</strong>：政府支出の増加が長期的な経済水準に影響</li><li><strong>規制改革</strong>：制度変更の効果が永続的に残存</li></ul></div><;