共分散の計算方法を学ぶ問題です。
共分散とは
共分散は2つの変数がどの程度一緒に変動するかを表す指標です。
$\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$
1. 平均値の計算
まず、xとyの平均値を求めます：
$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$\bar{y} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
2. 各データ点の偏差
各データ点の平均からの偏差を計算します：
- $(x_1, y_1) = (2, 1)$：$x_1 - \bar{x} = 2 - 5 = -3$, $y_1 - \bar{y} = 1 - 4 = -3$
- $(x_2, y_2) = (4, 3)$：$x_2 - \bar{x} = 4 - 5 = -1$, $y_2 - \bar{y} = 3 - 4 = -1$
- $(x_3, y_3) = (6, 5)$：$x_3 - \bar{x} = 6 - 5 = 1$, $y_3 - \bar{y} = 5 - 4 = 1$
- $(x_4, y_4) = (8, 7)$：$x_4 - \bar{x} = 8 - 5 = 3$, $y_4 - \bar{y} = 7 - 4 = 3$
3. 偏差の積の計算
\begin{align}\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) &= (-3)(-3) + (-1)(-1) + (1)(1) + (3)(3) \\&= 9 + 1 + 1 + 9 = 20\end{align}
4. 共分散の算出
$\text{Cov}(X,Y) = \frac{20}{4} = 5.0$
共分散の性質
- 正の値： 2つの変数が同じ方向に変動
- 負の値： 2つの変数が逆方向に変動
- 0に近い： 変数間の線形関係が弱い
- 単位の影響： データの単位によって値が変わる
共分散と相関係数の関係：$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
したがって、共分散は5.0です。