<p>共分散の計算方法を学ぶ問題です。</p><h4>共分散とは</h4><p>共分散は2つの変数がどの程度一緒に変動するかを表す指標です。</p><p class='formula'>$\text{Cov}(X,Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})
lt;/p><p class='step'>1. 平均値の計算</p><p>まず、xとyの平均値を求めます：</p><p class='formula'>$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5
lt;/p><p class='formula'>$\bar{y} = \frac{1 + 3 + 5 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4
lt;/p><p class='step'>2. 各データ点の偏差</p><p>各データ点の平均からの偏差を計算します：</p><ul><li>$(x_1, y_1) = (2, 1)$：$x_1 - \bar{x} = 2 - 5 = -3$, $y_1 - \bar{y} = 1 - 4 = -3
lt;/li><li>$(x_2, y_2) = (4, 3)$：$x_2 - \bar{x} = 4 - 5 = -1$, $y_2 - \bar{y} = 3 - 4 = -1
lt;/li><li>$(x_3, y_3) = (6, 5)$：$x_3 - \bar{x} = 6 - 5 = 1$, $y_3 - \bar{y} = 5 - 4 = 1
lt;/li><li>$(x_4, y_4) = (8, 7)$：$x_4 - \bar{x} = 8 - 5 = 3$, $y_4 - \bar{y} = 7 - 4 = 3
lt;/li></ul><p class='step'>3. 偏差の積の計算</p><p class='formula'>\begin{align}\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) &= (-3)(-3) + (-1)(-1) + (1)(1) + (3)(3) \\&= 9 + 1 + 1 + 9 = 20\end{align}</p><p class='step'>4. 共分散の算出</p><p class='formula'>$\text{Cov}(X,Y) = \frac{20}{4} = 5.0
lt;/p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>共分散の性質</div><ul><li><strong>正の値：</strong> 2つの変数が同じ方向に変動</li><li><strong>負の値：</strong> 2つの変数が逆方向に変動</li><li><strong>0に近い：</strong> 変数間の線形関係が弱い</li><li><strong>単位の影響：</strong> データの単位によって値が変わる</li></ul></div><p class='note'>共分散と相関係数の関係：$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
lt;/p><p>したがって、共分散は<strong>5.0</strong>です。</p>