標準偏差の変化と相関係数 - 問題演習問題3

標準偏差の変化と相関係数レベル1

2つの変数X、Yについて、元の状態では相関係数が0.6であった。Xの標準偏差を2倍にし、Yの標準偏差を3倍にした場合、新しい相関係数はいくらになるか。小数第1位まで求めよ。

解説

解答と解説を表示

相関係数の性質について理解を深める問題です。<h4>相関係数の定義</h4>相関係数は共分散を各変数の標準偏差の積で割ったものです：$r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

lt;/p>1. 元の状態元の相関係数を$r_0$、共分散を$\text{Cov}_0$、標準偏差を$\sigma_{X0}$、$\sigma_{Y0}$とすると：$r_0 = \frac{\text{Cov}_0}{\sigma_{X0} \sigma_{Y0}} = 0.6

lt;/p>これより：$\text{Cov}_0 = 0.6 \times \sigma_{X0} \times \sigma_{Y0}

lt;/p>2. 標準偏差の変化新しい標準偏差は：<ul><li>$\sigma_{X\text{new}} = 2\sigma_{X0}$（Xの標準偏差を2倍）</li><li>$\sigma_{Y\text{new}} = 3\sigma_{Y0}$（Yの標準偏差を3倍）</li></ul>3. 共分散への影響重要な性質： 変数に定数を掛けても、変数間の線形関係は変わりません。Xを2倍、Yを3倍にした場合：$\text{Cov}(2X, 3Y) = 2 \times 3 \times \text{Cov}(X, Y) = 6 \times \text{Cov}_0

lt;/p>4. 新しい相関係数の計算\begin{align}r_{\text{new}} &= \frac{\text{Cov}(2X, 3Y)}{\sigma_{X\text{new}} \sigma_{Y\text{new}}} \\&= \frac{6 \times \text{Cov}_0}{2\sigma_{X0} \times 3\sigma_{Y0}} \\&= \frac{6 \times \text{Cov}_0}{6\sigma_{X0} \sigma_{Y0}} \\&= \frac{\text{Cov}_0}{\sigma_{X0} \sigma_{Y0}} = r_0 = 0.6\end{align}<div class='key-point'><div class='key-point-title'>相関係数の重要な性質</div><ul><li>スケール不変性： 変数に正の定数を掛けても相関係数は変わらない</li><li>単位の影響なし： cm→mへの変換などでは相関係数は不変</li><li>線形変換に対する不変性： $Y = aX + b$ (a>0) なら相関係数は1のまま</li></ul></div>この性質により、相関係数は「標準化」された関係性の指標として有用です。データの単位や尺度に影響されません。したがって、新しい相関係数は0.6です。

相関と回帰