事象の独立性を判断する問題です。
事象の独立性とは
2つの事象AとBが独立であるとは、一方の事象が起こることが他方の事象が起こる確率に影響しないことです。
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ または $P(A|B) = P(A)$
解法
事象の定義：
- A：1つ目のサイコロで偶数が出る（2, 4, 6）
- B：2つ目のサイコロで3以下の目が出る（1, 2, 3）
ステップ1： 各事象の確率を計算
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
ステップ2： 両方が起こる確率を計算
2つのサイコロの目の組 36 通りが同様に確からしいとすると、$A \cap B$ となる組（1つ目が偶数かつ2つ目が3以下）は $3 \times 3 = 9$ 通りなので：
$P(A \cap B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
ステップ3： 独立性を確認
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$
等しいので、独立です。
独立性の判断基準
- 定義： 独立性は $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つかどうかで判断する
- モデルの仮定： 「物理的に別のサイコロ」「時間的に別の試行」であることは独立を仮定する根拠にはなるが、それだけで独立が保証されるわけではない
この問題では、36 通りの目の組が同様に確からしいというモデルの下で、積の公式が成り立つことを確認できました。
したがって、これらの事象は独立であるです。