ベイズの定理を用いた実用的な問題です。
ベイズの定理
事前の情報と新しい証拠から、事後の確率を計算する定理です。
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}$
解法
事象の定義：
与えられた情報：
- $P(B|A) = 0.9$（病気の人が陽性になる確率）
- $P(B|A^c) = 0.1$（健康な人が陽性になる確率）
- $P(A) = 0.02$（病気の人の割合）
- $P(A^c) = 0.98$（健康な人の割合）
ステップ1： 陽性になる全確率を計算
$P(B) = P(B|A) \times P(A) + P(B|A^c) \times P(A^c)$
$= 0.9 \times 0.02 + 0.1 \times 0.98 = 0.018 + 0.098 = 0.116$
ステップ2： ベイズの定理を適用
$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)} = \frac{0.9 \times 0.02}{0.116} = \frac{0.018}{0.116} \approx 0.155$
ベイズの定理の意味
この結果は直感に反するかもしれませんが、示唆があります：
- 基準率の影響： 病気の人が少ない（2%）ため、陽性でも病気でない可能性が高い
- 偽陽性の影響： 健康な人の10%も陽性になるため
- 医療診断の重要性： 検査結果だけでなく、事前確率も考慮する必要性
したがって、陽性の人が実際に病気である確率は0.155（約15.5%）です。