二項分布の確率質量関数を用いて具体的な確率を計算する問題です。
二項分布の確率質量関数
二項分布$B(n, p)$に従う確率変数Xが値kをとる確率は：
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
計算手順
与えられた条件： $n = 5$, $p = 0.3$, $k = 2$
ステップ1： 二項係数を計算
$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
ステップ2： 成功確率の項を計算
$p^2 = (0.3)^2 = 0.09$
ステップ3： 失敗確率の項を計算
$(1-p)^{n-k} = (1-0.3)^{5-2} = (0.7)^3 = 0.343$
ステップ4： 確率を計算
$P(X = 2) = 10 \times 0.09 \times 0.343 = 0.3087 \approx 0.309$
二項分布の意味
この結果の解釈：
- 具体例： 5回の試行で成功確率30%の試験を受けて、ちょうど2回成功する確率が約30.9%
- 対称性： p=0.5のとき分布は対称、p≠0.5のとき非対称
- 極限： nが大きくpが小さいとき、ポアソン分布に近似
したがって、P(X = 2) = 0.309です。