統計学の定理の一つである中心極限定理を理解する問題です。
中心極限定理とは
中心極限定理は、母集団の分布の形に関係なく、標本サイズが十分大きければ標本平均の分布が正規分布に近づくという定理です。
中心極限定理の内容
条件：
- 母集団の平均μ、分散σ²が有限
- 標本サイズnが十分大きい（一般的にn≥30）
- 母集団の分布の形は問わない
結論：
標本平均$\bar{X}$の分布は近似的に：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
各選択肢の検討
選択肢1： 母集団が正規分布の場合のみ成り立つ
→ 誤り。母集団の分布形は問わない
選択肢2： 母集団の分布と同じになる
→ 誤り。正規分布に近づく（母集団の分布とは異なる）
選択肢3： 正規分布に近づく
→ 正しい。これが中心極限定理の核心
選択肢4： 30以下でないと成り立たない
→ 誤り。30以上で成り立つ
選択肢5： 母集団の分布が分からないと適用できない
→ 誤り。分布形は問わない（平均と分散があれば十分）
中心極限定理の重要性
- 汎用性： 母集団の分布に依存しない
- 実用性： 多くの統計的推定・検定の基礎
- 近似の精度： サンプルサイズが大きいほど精度向上
- 標準化： 標準正規分布を用いた計算が可能
したがって、正しい説明は標本サイズが大きくなると、標本平均の分布は正規分布に近づくです。