標本と母集団の概念、標本平均・標本分散の性質、信頼区間の基礎、母平均の推定に関する問題
中心極限定理に関する説明として正しいものはどれか。
統計学の定理の一つである中心極限定理を理解する問題です。
中心極限定理は、母集団の分布の形に関係なく、標本サイズが十分大きければ標本平均の分布が正規分布に近づくという定理です。
中心極限定理の内容
条件：
結論：
標本平均$\bar{X}$の分布は近似的に：
$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
各選択肢の検討
選択肢1： 母集団が正規分布の場合のみ成り立つ
→ 誤り。母集団の分布形は問わない
選択肢2： 母集団の分布と同じになる
→ 誤り。正規分布に近づく（母集団の分布とは異なる）
選択肢3： 正規分布に近づく
→ 正しい。これが中心極限定理の核心
選択肢4： 30以下でないと成り立たない
→ 誤り。30は経験的な目安であり、定理が成り立つ条件ではありません。母集団の歪みによっては、より大きな標本が要ります
選択肢5： 母集団の分布が分からないと適用できない
→ 誤り。分布形は問わない（平均と分散があれば十分）
したがって、正しい説明は標本サイズが大きくなると、標本平均の分布は正規分布に近づくです。