<p>標本分散と不偏分散の違いとその性質を理解する問題です。</p><h4>標本分散と不偏分散</h4><p><strong>標本分散：</strong></p><p class='formula'>$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
lt;/p><p><strong>不偏分散：</strong></p><p class='formula'>$u^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2
lt;/p><p class='step'>それぞれの性質</p><p><strong>標本分散の期待値：</strong></p><p class='formula'>$E[s^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 < \sigma^2
lt;/p><p>標本分散は母分散を過小推定する傾向があります。</p><p><strong>不偏分散の期待値：</strong></p><p class='formula'>$E[u^2] = \sigma^2
lt;/p><p>不偏分散の期待値は母分散と一致します（不偏性）。</p><p class='step'>各選択肢の検討</p><p><strong>選択肢1：</strong> 常に母分散と等しい</p><p>→ 誤り。標本による変動がある</p><p><strong>選択肢2：</strong> 標本分散の期待値は母分散より小さい</p><p>→ 誤り。これは標本分散についての説明</p><p><strong>選択肢3：</strong> 不偏分散の期待値は母分散と等しい</p><p>→ 正しい。不偏分散の定義による</p><p><strong>選択肢4：</strong> 標本サイズに関係なく一定</p><p>→ 誤り。標本によって値は変わる</p><p><strong>選択肢5：</strong> 負の値をとることがある</p><p>→ 誤り。分散は常に非負</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>なぜ(n-1)で割るのか</div><ul><li><strong>自由度：</strong> n個のデータで平均を計算すると、独立な情報はn-1個</li><li><strong>偏り修正：</strong> 標本平均を使うことによる偏りを補正</li><li><strong>不偏推定：</strong> 期待値が母数と一致する推定量</li></ul><p>この調整により、不偏分散は母分散の不偏推定量になります。</p></div><p>したがって、<strong>不偏分散の期待値は母分散と等しい</strong>が正しい説明です。</p>