母標準偏差が既知の場合の信頼区間の計算問題です。
母標準偏差既知の場合の信頼区間
母標準偏差σが既知で、標本サイズがnの場合、母平均μの95%信頼区間は：
$\bar{x} \pm 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
計算手順
与えられた条件：
- 母標準偏差：σ = 6
- 標本サイズ：n = 36
- 標本平均：$\bar{x} = 48.5$
- 信頼係数：1.96（95%信頼区間）
ステップ1： 標準誤差を計算
$\text{標準誤差} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{36}} = \frac{6}{6} = 1$
ステップ2： 誤差限界を計算
$\text{誤差限界} = 1.96 \times 1 = 1.96$
ステップ3： 信頼区間を計算
$\text{下限} = 48.5 - 1.96 = 46.54 ≈ 46.5$
$\text{上限} = 48.5 + 1.96 = 50.46$
信頼区間計算のポイント
- 標準誤差： σ/√nで計算（母集団の標準偏差を標本サイズの平方根で割る）
- 信頼係数： 95%なら1.96、99%なら2.58を使用
- 区間の解釈： この区間に母平均が含まれる確率が95%
- 区間の幅： 標本サイズが大きいほど狭くなる
実際の問題では、母標準偏差が未知の場合が多く、その場合はt分布を使用します。しかし、標本サイズが大きい場合は正規分布で近似できます。
したがって、95%信頼区間の下限は46.5です。