標本サイズと信頼区間の幅の関係を理解する問題です。
信頼区間の幅と標本サイズ
母標準偏差σが既知の場合、95%信頼区間は：
$\bar{x} \pm 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
信頼区間の幅は：
$\text{幅} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
標本サイズの影響
元の標本サイズをnとする場合：
$\text{幅}_1 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
標本サイズを4倍にした場合（4n）：
$\text{幅}_2 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{4n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{2\sqrt{n}}$
$\text{幅}_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \times \text{幅}_1$
結論：
標本サイズを4倍にすると、信頼区間の幅は1/2倍（半分）になります。
標本サイズと精度の関係
- 平方根の法則： 精度を2倍にするには標本サイズを4倍に
- 費用対効果： 大きな改善には急激な標本サイズ増加が必要
- 実用的考慮： 無限に大きくすることは現実的でない
- 最適化： 必要精度と費用のバランスが重要
この関係は「平方根の法則」と呼ばれ、統計的推定において標本サイズ設計の基本原理となります。精度を向上させるには、標本サイズの2乗に比例した効果があります。
したがって、標本サイズを4倍にすると信頼区間の幅は1/2倍になるです。