標本サイズと信頼区間の関係 - 問題演習問題7

標本サイズと信頼区間の関係レベル1

母標準偏差が一定のとき、標本サイズを4倍にすると95%信頼区間の幅はどうなるか。

解説

解答と解説を表示

標本サイズと信頼区間の幅の関係を理解する問題です。<h4>信頼区間の幅と標本サイズ</h4>母標準偏差σが既知の場合、95%信頼区間は：$\bar{x} \pm 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

lt;/p>信頼区間の幅は：$\text{幅} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

lt;/p>標本サイズの影響元の標本サイズをnとする場合：$\text{幅}_1 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

lt;/p>標本サイズを4倍にした場合（4n）：$\text{幅}_2 = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{4n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{2\sqrt{n}}

lt;/p>$\text{幅}_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \times \text{幅}_1

lt;/p>結論：標本サイズを4倍にすると、信頼区間の幅は1/2倍（半分）になります。<div class='key-point'><div class='key-point-title'>標本サイズと精度の関係</div><ul><li>平方根の法則： 精度を2倍にするには標本サイズを4倍に</li><li>費用対効果： 大きな改善には急激な標本サイズ増加が必要</li><li>実用的考慮： 無限に大きくすることは現実的でない</li><li>最適化： 必要精度と費用のバランスが重要</li></ul></div>この関係は「平方根の法則」と呼ばれ、統計的推定において標本サイズ設計の基本原理となります。精度を向上させるには、標本サイズの2乗に比例した効果があります。したがって、標本サイズを4倍にすると信頼区間の幅は1/2倍になるです。