<p>推定量の重要な性質である不偏性と一致性について理解する問題です。</p><h4>推定量の性質</h4><p><strong>不偏性（Unbiasedness）：</strong></p><p>推定量の期待値が真の母数と等しい性質</p><p class='formula'>$E[\hat{\theta}] = \theta
lt;/p><p><strong>一致性（Consistency）：</strong></p><p>標本サイズが大きくなると、推定量が真の母数に確率収束する性質</p><p class='formula'>$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ as $n \to \infty
lt;/p><p class='step'>標本平均の性質</p><p><strong>標本平均 $\bar{X}$ について：</strong></p><p><strong>不偏性の確認：</strong></p><p class='formula'>$E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu
lt;/p><p>標本平均は母平均の不偏推定量です。</p><p><strong>一致性の確認：</strong></p><p>大数の弱法則により：</p><p class='formula'>$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$ as $n \to \infty
lt;/p><p>標本平均は母平均に確率収束します。</p><div class='key-point'><div class='key-point-title'>推定量の良い性質</div><ul><li><strong>不偏性：</strong> 平均的に正しい値を与える</li><li><strong>一致性：</strong> データが多いほど真の値に近づく</li><li><strong>効率性：</strong> 同じ条件で最小の分散を持つ</li><li><strong>十分性：</strong> データの情報を余すことなく利用</li></ul><p>標本平均はこれら全ての良い性質を満たす優秀な推定量です。</p></div><p class='note'>標本平均が「最良」の推定量とされる理由は、これらの望ましい性質をすべて満たすからです。特に正規分布の場合、ガウス＝マルコフ定理により最小分散不偏推定量となります。</p><p>したがって、標本平均は<strong>不偏性と一致性の両方がある</strong>推定量です。</p>