推定量の性質である不偏性と一致性について理解する問題です。
推定量の性質
不偏性（Unbiasedness）：
推定量の期待値が真の母数と等しい性質
$E[\hat{\theta}] = \theta$
一致性（Consistency）：
標本サイズが大きくなると、推定量が真の母数に確率収束する性質
$\hat{\theta}_n \xrightarrow{P} \theta$ as $n \to \infty$
標本平均の性質
標本平均 $\bar{X}$ について：
不偏性の確認：
$E[\bar{X}] = E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[X_i] = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$
標本平均は母平均の不偏推定量です。
一致性の確認：
大数の弱法則により：
$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$ as $n \to \infty$
標本平均は母平均に確率収束します。
推定量の良い性質
- 不偏性： 平均的に正しい値を与える
- 一致性： データが多いほど真の値に近づく
- 効率性： 同じ条件で最小の分散を持つ
- 十分性： データの情報を余すことなく利用
標本平均はこれら全ての良い性質を満たす優秀な推定量です。
標本平均が「最良」の推定量とされる理由は、これらの望ましい性質をすべて満たすからです。特に正規分布の場合、ガウス＝マルコフ定理により最小分散不偏推定量となります。
したがって、標本平均は不偏性と一致性の両方がある推定量です。