分散と標準偏差（データから計算） - 基礎編問題3/20

分散と標準偏差（データから計算）レベル1

次のデータを母集団全体とみなし、標準偏差（分散の分母を $n$ とする）を求めよ。小数第2位まで求めよ（小数第3位を四捨五入すること）。
\begin{array}{l|ccccc}
\hline
x & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\hline
\end{array}

解説

この問題では、データの散らばり具合を示す最も基本的な指標である分散と標準偏差の計算方法と、それらが持つ意味について理解を深めます。

分散 (Variance) とは？

分散は、データが平均値からどれだけ散らばっているかを示す指標の一つです。具体的には、各データ点と平均値との差（偏差）を二乗し、それらを平均した値です。

なぜ二乗するのか？: 偏差（$x_i - \bar{x}$）をそのまま合計すると、常に0になってしまい散らばり具合を測れません。二乗することで、平均からの距離の大きさを正の値として評価できます。

母集団全体のデータに対する分散（母分散 $\sigma^2$）は以下のように計算されます（記述統計の文脈では、標本データに対してもこの式を用いることがあります）。

$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

ここで、$x_i$ は個々のデータ、$\bar{x}$ はデータの平均値、$n$ はデータの総数を表します。

標準偏差 (Standard Deviation) とは？

標準偏差は、分散の正の平方根です。分散と同様にデータの散らばり具合を示しますが、より直感的に理解しやすい指標です。

なぜ平方根を取るのか？: 分散の単位は、元のデータの単位の二乗（例：データがcmなら分散はcm²）となります。標準偏差は平方根を取ることで、元のデータと同じ単位に戻り、解釈が容易になります。

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

1. 平均値の計算

まず、データの平均値 $\bar{x}$ を計算します。

与えられたデータは $2, 4, 6, 8, 10$ です。

\begin{align} \bar{x} &= \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} \\ &= \frac{30}{5} \\ &= 6 \end{align}

2. 偏差と偏差の二乗の計算

次に、各データ点 $x_i$ と平均値 $\bar{x}$ との差（偏差）を計算し、それぞれを二乗します。

\begin{align} (2 - 6)^2 &= (-4)^2 = 16 \\ (4 - 6)^2 &= (-2)^2 = 4 \\ (6 - 6)^2 &= 0^2 = 0 \\ (8 - 6)^2 &= 2^2 = 4 \\ (10 - 6)^2 &= 4^2 = 16 \end{align}

3. 分散の計算

偏差の二乗の合計をデータの個数 $n$ で割って、分散 $\sigma^2$ を計算します。

偏差の二乗の合計は $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$ です。

データの個数は $5$ 個です。

\begin{align} \sigma^2 &= \frac{40}{5} \\ &= 8 \end{align}

4. 標準偏差の計算

分散 $\sigma^2$ の正の平方根を取って、標準偏差 $\sigma$ を計算します。

\begin{align} \sigma &= \sqrt{8} \\ &\approx 2.8284... \end{align}

問題では小数第2位まで求めよとあるので、標準偏差は約 $2.83$ となります。

分散と標準偏差のポイント

解釈のしやすさ: 標準偏差は元のデータと同じ単位を持つため、データの散らばりを直感的に理解しやすいです。例えば、「平均点から標準偏差1つ分だけ点数が高い」といった表現が可能です。
正規分布との関連 (68-95-99.7ルール): データが正規分布に近い場合、
- 平均値 ±1 標準偏差の範囲に約68%のデータ
- 平均値 ±2 標準偏差の範囲に約95%のデータ
- 平均値 ±3 標準偏差の範囲に約99.7%のデータ
が含まれるという経験則があり、データのばらつきを評価する目安になります。
不偏分散: 標本から母集団の分散を推定する場合、分母を $n$ ではなく $n-1$ で割った不偏分散 ($s^2$) を用いることが一般的です。これは、標本分散が母分散を過小評価する傾向があるため、それを補正するためです。
$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
この問題はデータを母集団全体とみなすので、分母を $n$ とした分散を計算しています。

補足：
分散や標準偏差が大きいほど、データは平均値から広範囲に散らばっていることを意味し、小さいほどデータは平均値の周りに集中していることを示します。これらの指標は、品質管理、金融リスク分析、科学的研究など、様々な分野でデータのばらつきを評価するために不可欠です。

この問題の答えとして、標準偏差は $2.83$ (指定により小数第2位まで)となります。