2変数データの回帰直線を求める問題です。
1. 回帰直線の定義
回帰直線は、2変数データの関係を表す直線で、最小二乗法によって求められます。回帰直線の式は $y = ax + b$ の形で表され、係数 $a$（傾き）と $b$（切片）は以下の公式で計算されます。
\begin{align}
a &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \\
b &= \bar{y} - a\bar{x}
\end{align}
ここで、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれ変数 $x$ と $y$ の平均値です。
2. 平均値の計算
まず、$x$ と $y$ の平均値を計算します。
\begin{align}
\bar{x} &= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \\
\bar{y} &= \frac{3 + 5 + 7 + 8 + 11}{5} = \frac{34}{5} = 6.8
\end{align}
3. 係数 $a$ の計算
係数 $a$ を求めるために必要な各項を計算します。
$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ の計算：
\begin{align}
(1 - 3)(3 - 6.8) &= (-2)(-3.8) = 7.6 \\
(2 - 3)(5 - 6.8) &= (-1)(-1.8) = 1.8 \\
(3 - 3)(7 - 6.8) &= (0)(0.2) = 0 \\
(4 - 3)(8 - 6.8) &= (1)(1.2) = 1.2 \\
(5 - 3)(11 - 6.8) &= (2)(4.2) = 8.4
\end{align}
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 7.6 + 1.8 + 0 + 1.2 + 8.4 = 19$
$(x_i - \bar{x})^2$ の計算：
\begin{align}
(1 - 3)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(2 - 3)^2 &= (-1)^2 = 1 \\
(3 - 3)^2 &= (0)^2 = 0 \\
(4 - 3)^2 &= (1)^2 = 1 \\
(5 - 3)^2 &= (2)^2 = 4
\end{align}
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$
係数 $a$ を計算します。
\begin{align}
a &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \\
&= \frac{19}{10} \\
&= 1.9
\end{align}
4. 係数 $b$ の計算
係数 $b$ を計算します。
\begin{align}
b &= \bar{y} - a\bar{x} \\
&= 6.8 - 1.9 \times 3 \\
&= 6.8 - 5.7 \\
&= 1.1
\end{align}
5. 回帰直線の式
求めた係数 $a$ と $b$ を用いて、回帰直線の式を表します。
$y = 1.9x + 1.1$
回帰直線の意味と解釈：
- 回帰直線は、2変数データの関係を最もよく表す直線です。具体的には、実際の $y$ の値と回帰直線から予測される $y$ の値との差の二乗和が最小になるように係数 $a$ と $b$ が決定されます（最小二乗法）。
- 係数 $a$（傾き）は、$x$ が1単位増加したときの $y$ の平均的な増加量を表します。この問題では、$x$ が1単位増加すると、$y$ は平均して1.9単位増加することを意味します。
- 係数 $b$（切片）は、$x = 0$ のときの $y$ の値を表します。ただし、データの範囲外の $x$ の値に対する予測は、モデルの適用範囲を超えている可能性があるため、注意が必要です。
- 決定係数 $R^2$（相関係数の二乗）は、回帰モデルによって説明される $y$ の変動の割合を表します。$R^2$ が1に近いほど、モデルの当てはまりが良いことを示します。