確率分布編

二項分布の期待値と分散について考えます。

1. 二項分布の定義

二項分布 $B(n, p)$ は、成功確率が $p$ である独立な試行を $n$ 回繰り返したときの成功回数 $X$ の確率分布です。確率質量関数は次のように表されます：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数で、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数を表します：

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

2. 二項分布の期待値

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の期待値は次の式で与えられます：

$E(X) = np$

この問題では、$n = 10$, $p = 0.3$ なので：

$E(X) = 10 \times 0.3 = 3$

3. 二項分布の分散

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ の分散は次の式で与えられます：

$V(X) = np(1-p)$

この問題では、$n = 10$, $p = 0.3$ なので：

$V(X) = 10 \times 0.3 \times (1-0.3) = 10 \times 0.3 \times 0.7 = 10 \times 0.21 = 2.1$

二項分布の期待値 $np$ は、$n$ 回の試行で期待される成功回数を表します。これは直感的にも理解できます。各試行の成功確率が $p$ であれば、$n$ 回の試行では平均して $np$ 回の成功が期待されます。

分散 $np(1-p)$ は、実際の成功回数が期待値からどれだけばらつくかを示します。$p = 0.5$ のとき分散は最大になり、$p$ が 0 または 1 に近づくにつれて分散は小さくなります。

したがって、成功確率が $p = 0.3$ の試行を $n = 10$ 回繰り返すとき、成功回数 $X$ の期待値と分散は $E(X) = 3, V(X) = 2.1$ です。