ポアソン分布を用いた確率計算の問題です。
1. ポアソン分布の定義
ポアソン分布 $Poi(\lambda)$ は、単位時間（または単位空間）あたりに発生する事象の数を表す確率分布です。確率質量関数は次のように表されます：
$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$
ここで、$\lambda$ は単位時間あたりの事象の平均発生数（率）です。
2. 問題の設定
この問題では：
- $X$：1時間あたりに到着する電車の本数
- $X \sim Poi(\lambda = 4)$：$X$ はパラメータ $\lambda = 4$ のポアソン分布に従う
- 求めるのは $P(X \leq 3)$：1時間の間に電車が3本以下しか到着しない確率
3. 確率の計算
$P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)$
各項を計算します：
\begin{align} P(X = 0) &= \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4} \approx 0.0183 \\
P(X = 1) &= \frac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4} \approx 0.0733 \\
P(X = 2) &= \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4} \approx 0.1465 \\
P(X = 3) &= \frac{e^{-4} \cdot 4^3}{3!} = \frac{64e^{-4}}{6} = \frac{32e^{-4}}{3} \approx 0.1954\end{align}
したがって：
\begin{align}P(X \leq 3) &= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \\
&\approx 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1954 \\
&\approx 0.4335 \approx 0.43\end{align}
ポアソン分布は、稀な事象の発生数をモデル化するのに適しています。例えば、単位時間あたりの顧客の到着数、単位面積あたりの欠陥の数、単位体積あたりの粒子の数などです。
ポアソン分布の特徴として、期待値と分散が等しく、ともに $\lambda$ になることが挙げられます：$E(X) = V(X) = \lambda$
また、ポアソン分布は二項分布の極限として導出することができます。試行回数 $n$ が非常に大きく、成功確率 $p$ が非常に小さい場合の二項分布 $B(n, p)$ は、$\lambda = np$ としたポアソン分布 $Poi(\lambda)$ で近似できます。
したがって、1時間の間に電車が3本以下しか到着しない確率は約0.43です。