標本分散の分布について考える問題です。
1. 不偏分散の定義
大きさ $n$ の標本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ から計算される不偏分散 $s^2$ は次のように定義されます：
$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$
ここで、$\bar{X}$ は標本平均です。不偏分散は母分散 $\sigma^2$ の不偏推定量であり、$E(s^2) = \sigma^2$ となります。
2. 正規母集団からの標本分散の分布
母集団が正規分布に従う場合、不偏分散 $s^2$ と母分散 $\sigma^2$ の関係は以下のようになります：
$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$
つまり、$(n-1)s^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従います。
この性質は、正規母集団からの標本に対してのみ成り立つことに注意が必要です。
3. 選択肢の検討
- 「$s^2$ は常に $\sigma^2$ に等しい」→ 誤り。$s^2$ は標本から計算される統計量であり、標本ごとに異なる値をとります。期待値は $\sigma^2$ に等しいですが、個々の値は $\sigma^2$ と異なります。
- 「$s^2$ は平均 $\sigma^2$、分散 $2\sigma^4/n$ の正規分布に従う」→ 誤り。$s^2$ は正規分布ではなく、スケールされたカイ二乗分布に関連しています。ただし、$n$ が非常に大きい場合は、中心極限定理により近似的に正規分布に従うことがあります。
- 「$s^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う」→ 誤り。$s^2$ 自体はカイ二乗分布に従わず、$(n-1)s^2/\sigma^2$ がカイ二乗分布に従います。
- 「$(n-1)s^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う」→ 正しい。これは正規母集団からの標本分散の分布に関する基本的な性質です。
- 「$s^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う」→ 誤り。$s^2/\sigma^2$ はカイ二乗分布を $n-1$ で割ったものに従います（スケールが異なります）。
標本分散の分布に関する性質は、以下のような統計的推測で重要な役割を果たします：
- 母分散の区間推定
- 母分散に関する仮説検定
- 2つの母分散の比の検定（F検定）
また、$(n-1)s^2/\sigma^2$ がカイ二乗分布に従うという性質は、標本平均と標本分散が独立であるという正規分布の特性に基づいています。これは、正規分布からの標本に特有の性質であり、他の分布からの標本では一般に成り立ちません。
したがって、不偏分散 $s^2$ の分布として正しいものは「$(n-1)s^2/\sigma^2$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う」です。