ポアソン分布の正規近似を活用する練習です。
1. モデルの整理
来店客数 $X$ は $Poi(\lambda = 20)$ に従います。平均と分散はいずれも20なので、正規近似では平均 $\mu = 20$, 分散 $\sigma^2 = 20$ の正規分布を用います。
2. 余事象と連続修正
求めたいのは $P(X \geq 25)$。離散値を連続分布で近似するため、連続修正を入れて $P(X > 24.5)$ を計算します。
連続修正では境界を前後に0.5だけ広げて元の離散値を含めます。ここで25を含めたいので下側境界を24.5に取り、25.5にしてしまうと25が除外され $P(X \geq 26)$ の近似になってしまう点に注意します。
$Z = \frac{24.5 - 20}{\sqrt{20}} \approx 1.006$
3. 正規近似で確率を求める
$P(X \geq 25) \approx 1 - \Phi(1.006)$。標準正規表より $\Phi(1.006) \approx 0.8428$ なので、
$P(X \geq 25) \approx 1 - 0.8428 = 0.1572$
小数第3位で四捨五入すると答えは 0.157 です。
4. 近似精度の確認
ポアソン分布の累積和を計算すると $P(X \geq 25) \approx 0.15677$ となり、正規近似の結果とよく一致します。
ポアソン分布の特徴と応用：
- ポアソン分布は、発生率が一定で、事象が互いに独立に発生する場合のモデルとして適しています。
- 応用例：1時間あたりの電話の着信数、一定面積あたりの植物の個体数、一定時間内の放射性崩壊の回数など。
- ポアソン分布は二項分布の極限として導出できます。$n \to \infty$, $p \to 0$ かつ $np = \lambda$ が一定のとき、二項分布 $B(n, p)$ はポアソン分布 $Poi(\lambda)$ に収束します。
- 複数のポアソン分布の和もポアソン分布になります。パラメータ $\lambda_1$ と $\lambda_2$ の2つのポアソン分布の和は、パラメータ $\lambda_1 + \lambda_2$ のポアソン分布になります。