カイ二乗分布の性質に関する問題です。
1. カイ二乗分布の定義
自由度 $k$ のカイ二乗分布は、$k$ 個の独立な標準正規分布に従う確率変数の二乗和の分布です。
$Z_1, Z_2, \ldots, Z_k$ が互いに独立で標準正規分布 $N(0, 1)$ に従うとき、確率変数 $X = Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_k^2$ は自由度 $k$ のカイ二乗分布 $\chi^2(k)$ に従います。
カイ二乗分布の確率密度関数は以下のように定義されます：
$f(x) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)} x^{k/2-1} e^{-x/2}$（$x > 0$）
ここで、$\Gamma(\cdot)$ はガンマ関数です。
2. カイ二乗分布の期待値と分散
自由度 $k$ のカイ二乗分布の期待値と分散は以下のようになります：
\begin{align}
E(X) &= k \\
Var(X) &= 2k
\end{align}
これらの値は、標準正規分布の性質から導出できます。標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う確率変数 $Z$ について、$E(Z) = 0$、$Var(Z) = 1$、$E(Z^2) = Var(Z) + (E(Z))^2 = 1 + 0 = 1$、$Var(Z^2) = E(Z^4) - (E(Z^2))^2 = 3 - 1 = 2$ となります。
独立な確率変数の和の期待値は期待値の和、分散は分散の和になるため：
\begin{align}
E(X) &= E(Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_k^2) \\
&= E(Z_1^2) + E(Z_2^2) + \ldots + E(Z_k^2) \\
&= 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ ($k$ 項)} \\
&= k
\end{align}
\begin{align}
Var(X) &= Var(Z_1^2 + Z_2^2 + \ldots + Z_k^2) \\
&= Var(Z_1^2) + Var(Z_2^2) + \ldots + Var(Z_k^2) \\
&= 2 + 2 + \ldots + 2 \text{ ($k$ 項)} \\
&= 2k
\end{align}
3. 選択肢の検討
各選択肢を検討します：
選択肢1：「期待値はk、分散は2kである」
正しいです。上記の計算で示したように、自由度 $k$ のカイ二乗分布の期待値は $k$、分散は $2k$ です。
選択肢2：「期待値はk/2、分散はkである」
誤りです。期待値は $k/2$ ではなく $k$ です。
選択肢3：「期待値はk、分散はkである」
誤りです。期待値は $k$ で正しいですが、分散は $k$ ではなく $2k$ です。
選択肢4：「期待値は0、分散はkである」
誤りです。カイ二乗分布は非負の値のみをとる分布であり、期待値は $0$ ではなく $k$ です。また、分散も $k$ ではなく $2k$ です。
選択肢5：「期待値はk/2、分散は2kである」
誤りです。期待値は $k/2$ ではなく $k$ です。分散は $2k$ で正しいです。
カイ二乗分布の特徴と応用：
- カイ二乗分布は、正規母集団からの標本分散の分布や、分割表の独立性検定など、様々な統計的検定で重要な役割を果たします。
- 自由度 $k$ が大きくなるにつれて、カイ二乗分布は正規分布に近づきます。具体的には、$(X - k) / \sqrt{2k}$ は標準正規分布に漸近的に従います。
- 独立なカイ二乗分布に従う確率変数の和も、カイ二乗分布に従います。自由度 $k_1$ と $k_2$ のカイ二乗分布に従う独立な確率変数の和は、自由度 $k_1 + k_2$ のカイ二乗分布に従います。
- ガンマ分布の特殊ケースとして、カイ二乗分布は形状パラメータ $k/2$、尺度パラメータ $2$ のガンマ分布と等価です。
この問題では、自由度 $k$ のカイ二乗分布の期待値と分散について問われました。正しい答えは「期待値はk、分散は2kである」です。