t分布を用いた母平均の信頼区間に関する問題です。
1. 母平均の信頼区間
正規母集団から得られた標本に基づいて母平均 $\mu$ の信頼区間を構成する方法は、母分散 $\sigma^2$ が既知か未知かによって異なります。
母分散が既知の場合は、標準正規分布（Z分布）を用いますが、母分散が未知の場合は、t分布を用います。この問題では母分散が未知なので、t分布を使用します。
母平均 $\mu$ の $(1-\alpha) \times 100\%$ 信頼区間は以下のように表されます：
$\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$
ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$s$ は標本標準偏差、$n$ は標本サイズ、$t_{n-1, \alpha/2}$ は自由度 $n-1$ のt分布の上側 $\alpha/2$ 点です。
2. 問題の設定
この問題では：
- 標本サイズ：$n = 16$
- 標本平均：$\bar{x} = 42$
- 標本標準偏差：$s = 8$
- 信頼水準：$1 - \alpha = 0.95$（95%信頼区間）
3. 信頼区間の計算
自由度は $n - 1 = 16 - 1 = 15$ です。
95%信頼区間なので、$\alpha = 0.05$ であり、$\alpha/2 = 0.025$ です。
t分布表または計算ツールを用いて、$t_{15, 0.025} \approx 2.131$ を得ます。
標準誤差は：
$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{16}} = \frac{8}{4} = 2$
したがって、95%信頼区間は：
\begin{align}
\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} &= 42 \pm 2.131 \times 2 \\
&= 42 \pm 4.262 \\
&= [37.738, 46.262]
\end{align}
4. 信頼区間の解釈
95%信頼区間 $[37.7, 46.3]$ は、「同じ方法で多数の標本を取り、それぞれから信頼区間を構成した場合、その約95%が真の母平均 $\mu$ を含む」ことを意味します。
別の言い方をすると、この特定の信頼区間が真の母平均を含む確率は95%ではなく、0か1のどちらかです（含むか含まないかのどちらか）。95%という数値は、長期的な頻度を表しています。
t分布と信頼区間の特徴：
- t分布は、標本サイズが小さく母分散が未知の場合に、正規分布の代わりに使用される確率分布です。
- t分布は標準正規分布よりも裾が重く、自由度が大きくなるにつれて標準正規分布に近づきます。
- 信頼区間の幅は、信頼水準が高いほど広くなります（例：99%信頼区間は95%信頼区間よりも広い）。
- 信頼区間の幅は、標本サイズが大きいほど狭くなります（$n$ が大きいほど標準誤差 $s/\sqrt{n}$ は小さくなる）。
- 信頼区間の幅は、標本の変動（標本標準偏差 $s$）が大きいほど広くなります。