確率分布編

<p>対数正規分布の定義とその背景にある考え方を理解しているかを問う問題です。</p> <div class='key-point'> <p><strong>対数正規分布の定義</strong></p> <p>ある正の値をとる確率変数Xについて、その自然対数 $Y = \ln(X)$ が正規分布に従うとき、Xは対数正規分布に従うといいます。多くの独立な正の要因の「積」によって変動が生じるような現象のモデル化によく用いられます。</p> </div> <p class='step'>1. 対数正規分布とは</p> <p>対数正規分布は、正の実数を取る連続確率分布の一つです。その名の通り、確率変数Xが対数正規分布に従うとは、$Y = \ln(X)$（または常用対数 $\log_{10}(X)$ でもよいが、通常は自然対数）が正規分布に従うことを意味します。</p> <p>もし $Y = \ln(X)$ が平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うならば、Xは対数正規分布 $LogNormal(\mu, \sigma^2)$ に従うと表記されます。このときのXの平均や分散は、$\mu$ や $\sigma^2$ とは異なる式で表されます。</p><p class='step'>2. 対数正規分布が適合する現象</p> <p>対数正規分布は、以下のような特徴を持つ現象のモデル化に適しています。</p> <ul> <li><strong>乗法的効果</strong>：多くの独立した小さな要因が「掛け算」として影響し合って結果が生じる場合。例えば、生物の成長過程で、各期間の成長率がランダムに変動し、それらが累積的に作用する場合などが考えられます（積の中心極限定理とも関連）。</li> <li><strong>正の値のみを取る</strong>：値が必ず正である（例：所得、株価、汚染物質濃度、待ち時間など）。</li> <li><strong>裾の重い分布</strong>：分布が右に長く裾を引く（歪度が正になる）ことが多い。ごく少数の非常に大きな値が出現する可能性がある。</li> </ul> <p>所得分布（パレート分布も有名だが、対数正規分布もよく用いられる）、株価の変動、ある物質の濃度分布、反応時間、一部の生物学的測定値などが対数正規分布に従う例として知られています。</p><p class='step'>3. 各選択肢の検討</p> <ul> <li>「Xの対数 log(X) が正規分布に従う場合。」：正しい。これが対数正規分布の定義そのものです。</li> <li>「Xが多くの独立な確率変数の和として表される場合（中心極限定理）。」：これはX自身が正規分布に近似的に従うことを示唆します（中心極限定理）。対数正規分布は「積」のプロセスから生じることが多いです。</li> <li>「Xが稀な事象の発生回数を表す場合。」：これはポアソン分布が適しています。</li> <li>「Xがある期間内に事象が発生するまでの待ち時間を表す場合。」：これは指数分布やガンマ分布、ワイブル分布などが適しています（特に事象発生率が一定なら指数分布）。</li> <li>「Xの確率密度関数が左右対称の釣鐘型になる場合。」：これは正規分布の特徴であり、対数正規分布は一般に右に歪んだ非対称な分布となります。</li> </ul> <p class='note'>正規分布との関係</p> <p>対数正規分布は正規分布と密接に関連していますが、分布の形状は大きく異なります。対数変換によって正規分布に帰着できるため、対数変換したデータに対して正規分布を仮定する統計手法を適用し、結果を元のスケールに戻して解釈する、といったアプローチが取られることがあります。</p>