0から1の間の値（割合、確率など）をモデル化するのに柔軟性の高いベータ分布について、パラメータと分布形状の関係、特に一様分布となる条件を問う問題です。
ベータ分布の多様な形状と特殊ケース
ベータ分布は、2つの正の形状パラメータ $\alpha$ と $\beta$ によって、U字型、釣鐘型、J字型、一様分布など、非常に多様な形状を取ることができます。特に、$\alpha = 1$ かつ $\beta = 1$ のとき、[0, 1] 区間の一様分布と一致します。
1. ベータ分布とは
ベータ分布は、区間 [0, 1] で定義される連続確率分布で、主に確率や割合、比率などの0から1の値を取る量をモデル化するのに用いられます。確率密度関数は、2つの正のパラメータ $\alpha$ と $\beta$ を用いて以下のように表されます。
$f(x; \alpha, \beta) = \frac{1}{B(\alpha, \beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1}, \quad 0 \leq x \leq 1$
ここで、$B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$ はベータ関数（$\Gamma$はガンマ関数）です。
平均は $\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$、最頻値（モード）は $\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$ (ただし $\alpha, \beta > 1$) で与えられます。
2. パラメータ $\alpha, \beta$ と分布形状
$\alpha$ と $\beta$ の値によって、ベータ分布は様々な形状をとります。
- $\alpha = 1, \beta = 1$：$f(x) = x^{1-1}(1-x)^{1-1} = x^0 (1-x)^0 = 1$ (0 ≤ x ≤ 1)。これは区間 [0, 1] の一様分布です。$B(1,1)=1$。
- $\alpha < 1, \beta < 1$：U字型（両端で確率密度が高い）。例：$\alpha=0.5, \beta=0.5$ の場合、逆正弦分布（Arcsin distribution）と呼ばれる。
- $\alpha = 1, \beta > 1$：右に歪んだJ字型（x=0で最大）。
- $\alpha > 1, \beta = 1$：左に歪んだ逆J字型（x=1で最大）。
- $\alpha > 1, \beta > 1$：単峰型（釣鐘型に近い）。$\alpha = \beta$ なら左右対称。$\alpha > \beta$なら左に偏り、$\alpha < \beta$なら右に偏る。
3. 各選択肢の検討
- 「α = 1, β = 1」：このとき、確率密度関数は $f(x)=1$ (0 ≤ x ≤ 1) となり、[0, 1] 上の一様分布と一致します。正しい。
- 「α → ∞, β → ∞ (α/β が一定値c)」：この場合、ベータ分布は平均 $\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \approx \frac{c}{c+1}$ 付近に集中する正規分布に近似していきます（点推定のような挙動）。一様分布ではありません。
- 「α = 0.5, β = 0.5」：U字型の分布（逆正弦分布）になります。一様分布ではありません。
- 「α = 2, β = 2」：左右対称な単峰型（上に凸の放物線に近い形）になります。一様分布ではありません。
- 「α = 1, β → ∞」：x=0に確率が非常に集中した分布になります。一様分布ではありません。
ベイズ統計における利用
ベータ分布は、二項分布のパラメータp（成功確率）の共役事前分布としてベイズ統計学でよく用いられます。事前知識をベータ分布で表現し、観測データ（二項分布からのサンプル）を得ることで、事後分布もベータ分布となり、計算が容易になります。