標本分散と母分散の関係について考えます。
1. 標本分散の定義
標本分散には2つの定義があります：
・標本分散（分母が $n$）: $s_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
・不偏分散（分母が $n-1$）: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
2. 標本分散の期待値
標本分散 $s_n^2$ の期待値を計算すると：
$E(s_n^2) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$
この結果から、標本分散 $s_n^2$ は母分散 $\sigma^2$ に対して過小推定量であることがわかります。つまり、平均的に真の値よりも小さい値を推定します。具体的には、真の分散の $(n-1)/n$ 倍の値を期待値として持ちます。
3. 不偏分散の導出
母分散の不偏推定量を得るためには、標本分散に補正係数 $n/(n-1)$ を掛ける必要があります：
$s^2 = \frac{n}{n-1} \cdot s_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
この不偏分散 $s^2$ の期待値は：
$E(s^2) = E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\right) = \sigma^2$
標本分散 $s_n^2$ が過小推定量である理由は、標本平均 $\bar{x}$ が各標本点 $x_i$ からの偏差の二乗和を最小化するように計算されるためです。つまり、母平均 $\mu$ の代わりに標本平均 $\bar{x}$ を使うことで、偏差の二乗和が小さくなり、結果として分散が過小評価されます。
したがって、問題文で定義された標本分散 $s_n^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2/n$ の期待値は、母分散 $\sigma^2$ の $(n-1)/n$ 倍です。