信頼区間の正しい解釈について考えます。
1. 信頼区間の定義
信頼区間とは、未知の母数（例えば母平均 $\mu$）を確率的に捉える区間推定の方法です。信頼係数（または信頼水準）$1-\alpha$（例えば95%）の信頼区間は、同じ方法で標本を繰り返し抽出し区間を構成したとき、その区間が真の母数を含む割合が長期的に $1-\alpha$ になるように構成されます。
2. 信頼区間の誤った解釈
選択肢1「母数が信頼区間に含まれる確率は95%である」
これは誤った解釈です。頻度論的な統計学の枠組みでは、母数は固定された未知の値であり、確率変数ではありません。したがって、「母数が区間に含まれる確率」という表現は適切ではありません。特定の信頼区間が与えられたとき、その区間は母数を含むか含まないかのどちらかであり、確率的な表現はできません。
選択肢3「標本平均が真の母平均から区間の幅の範囲内に収まる確率は95%である」
これも誤りです。信頼区間は標本平均の分布ではなく、母平均の推定に関するものです。
選択肢4「母集団の95%が信頼区間の範囲内にある」
これは予測区間と混同しています。信頼区間は母数（例えば母平均）に関するものであり、母集団の個々の値に関するものではありません。
選択肢5「信頼区間の幅を広げると、信頼度は95%より高くなる」
これは部分的に正しいですが、信頼区間の解釈としては不適切です。信頼区間の幅を広げると信頼度は高くなりますが、これは信頼区間の性質であり、解釈ではありません。
3. 信頼区間の正しい解釈
選択肢2「標本を繰り返し抽出したとき、構成された信頼区間の約95%が母数を含む」
これが信頼区間の正しい解釈です。95%信頼区間の手法を用いて多数の標本から信頼区間を繰り返し構成すると、それらの区間の約95%が真の母数を含むことになります。つまり、信頼度95%とは、同じ方法で区間を構成する手続きを長期的に繰り返したときに、真の母数を捕捉できる割合が95%であることを意味します。
信頼区間は頻度論的な概念であり、特定の1つの信頼区間について「母数を含む確率が95%」とは言えません。ベイズ統計学では、母数自体を確率変数として扱う「信用区間（credible interval）」という概念があり、こちらは「母数が区間に含まれる確率」という解釈が可能です。
したがって、95%信頼区間の正しい解釈は「標本を繰り返し抽出したとき、構成された信頼区間の約95%が母数を含む」です。