母分散の信頼区間を求める問題です。
1. 問題の整理
与えられた情報：
- 不偏分散: $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = 25$
- 標本サイズ: $n = 20$
- 求める信頼水準: 90%
2. 適切な分布の選択
正規母集団の母分散の信頼区間は、カイ二乗分布を用いて構成します。具体的には、$(n-1)s^2/\sigma^2$ が自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従うという性質を利用します。
3. 信頼区間の公式
母分散 $\sigma^2$ の $(1-\alpha)\times 100\%$ 信頼区間は次の式で与えられます：
$\left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, \alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}} \right]$
ここで、$\chi^2_{n-1, \alpha/2}$ は自由度 $n-1$ のカイ二乗分布の上側 $\alpha/2$ 点、$\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}$ は下側 $\alpha/2$ 点（または上側 $1-\alpha/2$ 点）です。
4. 計算
90%信頼区間の場合、$\alpha = 0.1$ なので、$\alpha/2 = 0.05$ となります。
自由度は $n-1 = 20-1 = 19$ です。
カイ二乗分布表から：
$\chi^2_{19, 0.05} \approx 30.144$ （上側5%点）
$\chi^2_{19, 0.95} \approx 10.117$ （下側5%点、または上側95%点）
したがって、90%信頼区間は：
$\left[ \frac{19 \times 25}{30.144}, \frac{19 \times 25}{10.117} \right] = \left[ \frac{475}{30.144}, \frac{475}{10.117} \right] = [15.758, 46.951]$
母分散の信頼区間は非対称になることに注意してください。これはカイ二乗分布が非対称な分布であるためです。また、母分散の信頼区間の上限は、分母に小さい値（$\chi^2_{n-1, 1-\alpha/2}$）を使用することで計算されます。