母平均の区間推定に関する問題です。
1. 母平均の信頼区間の基本
正規母集団から得られた標本に基づいて母平均 $\mu$ の信頼区間を構成する方法は、母分散 $\sigma^2$ が既知か未知かによって異なります。
母分散が未知の場合、t分布を用いて信頼区間を構成します。母平均 $\mu$ の $(1-\alpha) \times 100\%$ 信頼区間は以下のように表されます：
$\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}$
ここで、$\bar{x}$ は標本平均、$S$ は不偏分散の平方根、$n$ は標本サイズ、$t_{n-1, \alpha/2}$ は自由度 $n-1$ のt分布の上側 $\alpha/2$ 点です。
2. 問題の設定
この問題では：
- 標本平均：$\bar{x} = 500$ g
- 不偏分散の平方根：$S = 20$ g
- 標本サイズ：$n = 25$
- 信頼水準：$1 - \alpha = 0.95$（95%信頼区間）
3. 信頼区間の計算
自由度は $n - 1 = 25 - 1 = 24$ です。
95%信頼区間なので、$\alpha = 0.05$ であり、$\alpha/2 = 0.025$ です。
t分布表または計算ツールを用いて、$t_{24, 0.025} \approx 2.064$ を得ます。
標準誤差は：
$\frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$
したがって、95%信頼区間は：
\begin{align}\bar{x} \pm t_{n-1, \alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}} &= 500 \pm 2.064 \times 4 \\
&= 500 \pm 8.256 \\
&= [491.744, 508.256]\end{align}
小数第1位まで四捨五入すると、$[491.7, 508.3]$ となります。
4. 信頼区間の解釈
95%信頼区間 $[491.7, 508.3]$ は、「同じ方法で多数の標本を取り、それぞれから信頼区間を構成した場合、その約95%が真の母平均 $\mu$ を含む」ことを意味します。
別の言い方をすると、この特定の信頼区間が真の母平均を含む確率は95%ではなく、0か1のどちらかです（含むか含まないかのどちらか）。95%という数値は、長期的な頻度を表しています。
信頼区間の特徴と注意点：
- 信頼区間の幅は、信頼水準が高いほど広くなります（例：99%信頼区間は95%信頼区間よりも広い）。
- 信頼区間の幅は、標本サイズが大きいほど狭くなります（$n$ が大きいほど標準誤差 $S/\sqrt{n}$ は小さくなる）。
- 信頼区間の幅は、標本の変動（不偏分散の平方根 $S$）が大きいほど広くなります。
- 母分散が既知の場合は、t分布の代わりに標準正規分布（Z分布）を用いて信頼区間を構成します。
- 母分散が未知ならt分布を用いるのが基本です。自由度が大きいとt分布は標準正規分布に近づきますが、標本サイズだけで母分散を既知として扱うわけではありません。
この問題では、標本平均 $\bar{x} = 500$ g、不偏分散の平方根 $S = 20$ g、標本サイズ $n = 25$ の場合の母平均の95%信頼区間を求めました。計算の結果、信頼区間は $[491.7, 508.3]$ となります。