不偏分散の性質に関する問題です。
不偏分散は、標本分散の分母を \( n-1 \) とすることで、期待値が母分散に一致するように調整された推定量です。これは一致性も持ちます。
1. 不偏分散の定義
母平均が未知の場合、母分散 \( \sigma^2 \) の推定量としてよく用いられるのが不偏分散 \( U^2 \) です。\( n \) 個の標本 \( X_1, X_2, ..., X_n \) があるとき、標本平均を \( \bar{X} \) とすると、不偏分散は以下のように定義されます。
\[ U^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}{n - 1} \]
2. 不偏性
不偏分散の期待値 \( E[U^2] \) は母分散 \( \sigma^2 \) に一致します。つまり \( E[U^2] = \sigma^2 \) です。これが「不偏」と言われる所以です。一方、標本分散（分母が \( n \)）の期待値は \( \frac{n-1}{n} \sigma^2 \) となり、母分散よりも小さくなる傾向があります（過小評価）。
3. 一致性
一致推定量とは、標本サイズ \( n \) を大きくしていくと、推定量が真の値に確率収束する性質を持つ推定量のことです。不偏分散は一致推定量でもあります。つまり、\( n \rightarrow \infty \) のとき、\( U^2 \) は \( \sigma^2 \) に近づきます。
4. 各選択肢の検討
- 選択肢1: 不偏分散の分母は \( n-1 \)、標本分散の分母は \( n \) です。そのため、同じ分子であれば不偏分散の方が標本分散より大きくなります。よって誤り。
- 選択肢2: 不偏分散の定義から、その期待値は母分散に一致します。よって正しい。
- 選択肢3: 不偏分散は一致推定量です。よって誤り。
- 選択肢4: 標本サイズが大きくなるほど、一致性により不偏分散は母分散に近づいていきます。よって誤り。
- 選択肢5: 不偏分散の概念は、母集団の分布に特定の形（例：正規分布）を仮定するものではありません。よって誤り。