解答と解説を表示
<p>母比率の信頼区間におけるマージン・オブ・エラーを計算する問題です。</p><p class='key-point'>マージン・オブ・エラーは \( Z \times SE \) で計算されます。ここで SE は標本比率の標準誤差です。</p><p class='step'>1. 標本比率の計算</p><p>標本比率 \( \hat{p} \) は、支持者数 x を標本サイズ n で割ることで求められます。</p><p>\[ \hat{p} = x / n = 550 / 1000 = 0.55 \]</p><p class='step'>2. 標準誤差 (SE) の計算</p><p>母比率の推定における標準誤差 SE は、以下の式で計算されます。</p><p>\[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.55 \times (1 - 0.55)}{1000}} = \sqrt{\frac{0.55 \times 0.45}{1000}} = \sqrt{\frac{0.2475}{1000}} = \sqrt{0.0002475} \approx 0.0157321 \]</p><p class='step'>3. マージン・オブ・エラーの計算</p><p>95%信頼区間のマージン・オブ・エラーは、\( Z_{0.025} \times SE \) で求められます。</p><p>\[ \text{マージン・オブ・エラー} = 1.96 \times 0.0157321 \approx 0.0308349 \]</p><p>小数点第3位まで求めると 0.031 となります。</p><p class='final-answer-comment'>参考：95%信頼区間は \( \hat{p} \pm \text{マージン・オブ・エラー} \) なので、\( [0.55 - 0.031, 0.55 + 0.031] = [0.519, 0.581] \) となります。</p>