最尤推定量の性質に関する問題です。
最尤推定量は、観測されたデータが得られる確率（尤度）を最大にするようにパラメータを推定する方法です。一般に良い性質（一致性、漸近正規性、漸近有効性）を持ちますが、常に不偏であるとは限りません。
1. 最尤推定法とは
最尤推定法は、あるパラメータ θ で特徴づけられる確率分布から、実際に観測されたデータ X₁, X₂, ..., Xn が得られたと仮定したとき、そのデータが得られる同時確率（または確率密度関数）を θ の関数とみて尤度関数 L(θ) と呼びます。最尤推定量 θ̂ は、この尤度関数 L(θ) を最大にする θ の値です。
2. 最尤推定量の性質
- 不偏性: 最尤推定量は必ずしも不偏推定量であるとは限りません。例えば、正規分布の母分散の最尤推定量は標本分散（分母がn）であり、これは不偏分散（分母がn-1）とは異なり、不偏性を持ちません。
- 一致性: 多くの場合、最尤推定量は一致性を持ちます。つまり、標本サイズ n が大きくなるにつれて、真のパラメータ値に確率収束します。
- 漸近正規性: 標本サイズ n が大きいとき、最尤推定量の分布は正規分布で近似できます。
- 漸近有効性: 標本サイズ n が大きいとき、最尤推定量は漸近的に最も分散が小さい推定量（有効推定量）になります。
3. 各選択肢の検討
- 選択肢1: 最尤推定量は常に不偏推定量であるとは限りません。例えば、正規分布の母分散の最尤推定量は不偏ではありません。よって誤り。
- 選択肢2: 最尤推定量は、尤度関数を「最大」にするパラメータの値です。よって誤り（設問文は「最小」）。あ、これは設問の選択肢が間違っていました。正しくは尤度関数を最大にするパラメータです。ここでは、問題文の意図を汲み、この選択肢を「尤度関数を最大にするパラメータの値である」と解釈した場合について検討します。→ この解釈のもとでは正しい記述となります。
- 選択肢3: 最尤推定量は、一般的な条件下で一致性を持ちますが、「常に」とは断言できません。
- 選択肢4: 正規分布の母平均 μ の最尤推定量は、標本平均 X̄ です。標本中央値ではありません。よって誤り。