母平均の差の信頼区間の幅（小標本・等分散仮定） - 問題演習問題20

母平均の差の信頼区間の幅（小標本・等分散仮定）レベル1

2つの異なる肥料A、Bの効果を比較するため、ある作物の試験区を設け、肥料Aを施した区画（$n_A=10$）と肥料Bを施した区画（$n_B=12$）から収穫量（kg/区画）を測定した。標本平均はそれぞれ $ \bar{X}_A = 55 $ kg, $ \bar{X}_B = 50 $ kg であった。両群の母分散は等しいと仮定し、プールされた分散の推定値 $ s^2_p = 20 $ が得られたとする。母平均の差 $ \mu_A - \mu_B $ に対する90%信頼区間の「幅」を求めなさい。ただし、自由度20のt分布における上側5%点は $ t_{0.05}(20) = 1.725 $ とする。（小数点第2位まで）

解説

解答と解説を表示

独立な2群の母平均の差の信頼区間の幅を計算する問題です（小標本で母分散が等しいと仮定される場合）。信頼区間の幅は $ 2 \times \text{マージン・オブ・エラー} $ で計算されます。マージン・オブ・エラーは $ t \times SE_{diff} $ です。1. 与えられた情報<ul><li>肥料A: $ n_A = 10, \bar{X}_A = 55 \text{ kg} $</li><li>肥料B: $ n_B = 12, \bar{X}_B = 50 \text{ kg} $</li><li>プールされた分散の推定値: $ s^2_p = 20 $</li><li>信頼係数: 90% (両側なので、上側確率は $ (1 - 0.90) / 2 = 0.05 $)</li><li>自由度: $ df = n_A + n_B - 2 = 10 + 12 - 2 = 20 $</li><li>t値: $ t_{0.05}(20) = 1.725 $</li></ul>2. 標本平均の差の標準誤差 ($ SE_{diff} $) の計算\[ SE_{diff} = \sqrt{s^2_p \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)} = \sqrt{20 \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{12}\right)} = \sqrt{20 \left(\frac{6+5}{60}\right)} = \sqrt{20 \times \frac{11}{60}} = \sqrt{\frac{220}{60}} = \sqrt{\frac{11}{3}} \approx 1.9148542 \]3. マージン・オブ・エラーの計算\[ \text{マージン・オブ・エラー} = t_{0.05}(20) \times SE_{diff} = 1.725 \times 1.9148542 \approx 3.3031235 \]4. 信頼区間の幅の計算\[ \text{信頼区間の幅} = 2 \times \text{マージン・オブ・エラー} = 2 \times 3.3031235 \approx 6.606247 \]小数点第2位まで求めると 6.61 となります。参考：90%信頼区間は $ (\bar{X}_A - \bar{X}_B) \pm \text{マージン・オブ・エラー} $ なので、$ (55-50) \pm 3.303 \approx [1.70, 8.30] $ となり、その幅は $ 8.30 - 1.70 = 6.60 $ です。計算途中の丸め誤差により、6.61とわずかに異なる場合がありますが、ここではマージン・オブ・エラーを2倍する方法で計算しました。

推定編