確率変数の期待値を計算する問題です。
1. 問題の整理
サイコロを2回投げたときの出た目の和を確率変数 $X$ とします。$X$ の取り得る値は2から12までの整数です。
2. 期待値の定義
離散確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、$X$ の取り得る各値 $x$ とその確率 $P(X = x)$ の積の総和として定義されます：
$E(X) = \sum_{x} x \times P(X = x)$
3. 確率分布の導出
サイコロを2回投げる場合、可能な結果の総数は $6 \times 6 = 36$ 通りです。各結果は等確率 $\frac{1}{36}$ で発生します。
出た目の和 $X$ の確率分布を求めます：
- $X = 2$：(1, 1) の1通り → $P(X = 2) = \frac{1}{36}$
- $X = 3$：(1, 2), (2, 1) の2通り → $P(X = 3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
- $X = 4$：(1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通り → $P(X = 4) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
- $X = 5$：(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の4通り → $P(X = 5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
- $X = 6$：(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の5通り → $P(X = 6) = \frac{5}{36}$
- $X = 7$：(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の6通り → $P(X = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
- $X = 8$：(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通り → $P(X = 8) = \frac{5}{36}$
- $X = 9$：(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) の4通り → $P(X = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
- $X = 10$：(4, 6), (5, 5), (6, 4) の3通り → $P(X = 10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
- $X = 11$：(5, 6), (6, 5) の2通り → $P(X = 11) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
- $X = 12$：(6, 6) の1通り → $P(X = 12) = \frac{1}{36}$
4. 期待値の計算
期待値の定義に従って計算します：
\begin{align}E(X) &= \sum_{x=2}^{12} x \times P(X = x) \\
&= 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + 6 \times \frac{5}{36} + 7 \times \frac{6}{36} + 8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{4}{36} + 10 \times \frac{3}{36} + 11 \times \frac{2}{36} + 12 \times \frac{1}{36} \\
&= \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} \\
&= \frac{252}{36} \\
&= 7
\end{align}
5. 別解：期待値の線形性を利用
期待値の線形性を利用すると、計算が簡単になります。サイコロを2回投げたときの出た目の和 $X$ は、1回目の出た目 $X_1$ と2回目の出た目 $X_2$ の和です：$X = X_1 + X_2$
期待値の線形性より：
$E(X) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)$
1回のサイコロの出た目の期待値は：
$E(X_1) = E(X_2) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$
したがって：
$E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 3.5 + 3.5 = 7$
期待値は、確率変数の平均値を表します。この問題では、サイコロを2回投げる試行を多数回繰り返したとき、出た目の和の平均値は7に近づくことを意味します。
期待値の線形性は、確率論や統計学で重要な性質です。これにより、複雑な確率変数の期待値を、より単純な確率変数の期待値の和や差として計算できます。
したがって、サイコロを2回投げたときの出た目の和の期待値は7です。