確率編

確率の基礎から応用まで確認しましょう

期待値の計算 レベル1

サイコロを2回投げたときの出た目の和の期待値を求めよ。

解説
解答と解説を表示
<p>確率変数の期待値を計算する問題です。</p><p class='step'>1. 問題の整理</p><p>サイコロを2回投げたときの出た目の和を確率変数 $X$ とします。$X$ の取り得る値は2から12までの整数です。</p><p class='step'>2. 期待値の定義</p><p>離散確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ は、$X$ の取り得る各値 $x$ とその確率 $P(X = x)$ の積の総和として定義されます:</p><p class='formula'>$E(X) = \sum_{x} x \times P(X = x)
lt;/p><p class='step'>3. 確率分布の導出</p><p>サイコロを2回投げる場合、可能な結果の総数は $6 \times 6 = 36$ 通りです。各結果は等確率 $\frac{1}{36}$ で発生します。</p><p>出た目の和 $X$ の確率分布を求めます:</p><ul><li>$X = 2$:(1, 1) の1通り → $P(X = 2) = \frac{1}{36}
lt;/li><li>$X = 3$:(1, 2), (2, 1) の2通り → $P(X = 3) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
lt;/li><li>$X = 4$:(1, 3), (2, 2), (3, 1) の3通り → $P(X = 4) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
lt;/li><li>$X = 5$:(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) の4通り → $P(X = 5) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
lt;/li><li>$X = 6$:(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) の5通り → $P(X = 6) = \frac{5}{36}
lt;/li><li>$X = 7$:(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) の6通り → $P(X = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
lt;/li><li>$X = 8$:(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) の5通り → $P(X = 8) = \frac{5}{36}
lt;/li><li>$X = 9$:(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) の4通り → $P(X = 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}
lt;/li><li>$X = 10$:(4, 6), (5, 5), (6, 4) の3通り → $P(X = 10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
lt;/li><li>$X = 11$:(5, 6), (6, 5) の2通り → $P(X = 11) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}
lt;/li><li>$X = 12$:(6, 6) の1通り → $P(X = 12) = \frac{1}{36}
lt;/li></ul><p class='step'>4. 期待値の計算</p><p>期待値の定義に従って計算します:</p><p class='formula'>\begin{align}E(X) &= \sum_{x=2}^{12} x \times P(X = x) \\ &= 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + 6 \times \frac{5}{36} + 7 \times \frac{6}{36} + 8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{4}{36} + 10 \times \frac{3}{36} + 11 \times \frac{2}{36} + 12 \times \frac{1}{36} \\ &= \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} \\ &= \frac{252}{36} \\ &= 7 \end{align}</p><p class='step'>5. 別解:期待値の線形性を利用</p><p>期待値の線形性を利用すると、計算が簡単になります。サイコロを2回投げたときの出た目の和 $X$ は、1回目の出た目 $X_1$ と2回目の出た目 $X_2$ の和です:$X = X_1 + X_2
lt;/p><p>期待値の線形性より:</p><p class='formula'>$E(X) = E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)
lt;/p><p>1回のサイコロの出た目の期待値は:</p><p class='formula'>$E(X_1) = E(X_2) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5
lt;/p><p>したがって:</p><p class='formula'>$E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 3.5 + 3.5 = 7
lt;/p><p class='note'>期待値は、確率変数の平均値を表します。この問題では、サイコロを2回投げる試行を多数回繰り返したとき、出た目の和の平均値は7に近づくことを意味します。</p><p>期待値の線形性は、確率論や統計学で重要な性質です。これにより、複雑な確率変数の期待値を、より単純な確率変数の期待値の和や差として計算できます。</p><p>したがって、サイコロを2回投げたときの出た目の和の期待値は7です。</p>
問題 1/10
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