確率密度関数の性質を用いて定数 $k$ の値を求める問題です。
1. 確率密度関数の性質
確率密度関数 $f(x)$ は以下の条件を満たす必要があります：
- $f(x) \geq 0$ （非負性）
- $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ （全確率が1）
この問題では、$f(x) = kx(1-x)$ が $0 \leq x \leq 1$ の範囲で定義されています。$x(1-x)$ は $0 \leq x \leq 1$ の範囲で非負なので、$k > 0$ であれば条件1は満たされます。
条件2を用いて $k$ の値を求めます。
2. 全確率が1という条件の適用
確率密度関数の定義域が $0 \leq x \leq 1$ なので、全確率が1という条件は以下のようになります：
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$
$f(x) = kx(1-x)$ を代入します：
$\int_{0}^{1} kx(1-x) dx = 1$
$k$ は定数なので、積分の外に出せます：
$k \int_{0}^{1} x(1-x) dx = 1$
3. 積分の計算
$x(1-x) = x - x^2$ を積分します：
\begin{align}\int_{0}^{1} x(1-x) dx &= \int_{0}^{1} (x - x^2) dx \\
&= \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \\
&= \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \\
&= \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0 \\
&= \frac{3-2}{6} \\
&= \frac{1}{6}
\end{align}
4. 定数 $k$ の決定
全確率が1という条件から：
\begin{align}
k \int_{0}^{1} x(1-x) dx &= 1 \\
k \cdot \frac{1}{6} &= 1 \\
k &= 6
\end{align}
確率密度関数は、連続確率変数の確率分布を表す関数です。確率密度関数 $f(x)$ 自体は確率ではなく、確率密度を表します。区間 $[a, b]$ における確率は、$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$ で計算されます。
この問題の確率密度関数 $f(x) = 6x(1-x)$ は、ベータ分布 $Beta(2, 2)$ に相当します。ベータ分布は $[0, 1]$ の区間で定義される連続確率分布で、パラメータによって様々な形状を取ることができます。
したがって、定数 $k$ の値は $6$ です。