モーメント母関数 - 問題演習問題10 - 青の統計学-DS Playground-

モーメント母関数レベル1

確率変数 $X$ のモーメント母関数が $M_X(t) = e^{\frac{t^{2}}{2}}$ であるとき、$X$ の分布として最も適切なものはどれか。

解説

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モーメント母関数から確率分布を特定する問題です。1. モーメント母関数の定義と性質確率変数 $X$ のモーメント母関数 $M_X(t)$ は以下のように定義されます：$M_X(t) = E[e^{tX}]

lt;/p>モーメント母関数は確率分布を一意に特定します。つまり、2つの確率変数のモーメント母関数が同じであれば、それらの確率分布も同じです。また、モーメント母関数を $t$ で $n$ 回微分して $t = 0$ で評価すると、$X$ の $n$ 次モーメント（期待値）が得られます：$E[X^n] = \left. \frac{d^n}{dt^n} M_X(t) \right|_{t=0}

lt;/p>特に、以下の関係が成り立ちます：<ul><li>$E[X] = M_X'(0)$（平均）</li><li>$E[X^2] = M_X''(0)$（2次モーメント）</li><li>$V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = M_X''(0) - (M_X'(0))^2$（分散）</li></ul>2. 与えられたモーメント母関数の分析問題で与えられたモーメント母関数は $M_X(t) = e^{\frac{t^2}{2}}$ です。平均を求めるために、$M_X(t)$ を $t$ で微分します：\begin{align}M_X'(t) &= e^{\frac{t^2}{2}} \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{t^2}{2}\right) \\&= e^{\frac{t^2}{2}} \cdot t\end{align}$t = 0$ で評価して平均を求めます：$E[X] = M_X'(0) = e^{0^2/2} \cdot 0 = 1 \cdot 0 = 0

lt;/p>2次モーメントを求めるために、$M_X'(t)$ をさらに微分します：\begin{align}M_X''(t) &= \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{t^2}{2}} \cdot t\right) \\ &= \frac{d}{dt}\left(e^{\frac{t^2}{2}}\right) \cdot t + e^{\frac{t^2}{2}} \cdot \frac{d}{dt}(t) \\ &= e^{\frac{t^2}{2}} \cdot t \cdot t + e^{\frac{t^2}{2}} \cdot 1 \\ &= e^{\frac{t^2}{2}} \cdot (t^2 + 1) \end{align} $t = 0$ で評価して2次モーメントを求めます： $E[X^2] = M_X''(0) = e^{0^2/2} \cdot (0^2 + 1) = 1 \cdot 1 = 1

lt;/p>分散を計算します：$V(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 1 - 0^2 = 1

lt;/p>3. 確率分布の特定平均が0、分散が1の確率変数 $X$ のモーメント母関数を考えます。標準正規分布 $N(0, 1)$ のモーメント母関数は以下のように知られています：$M_X(t) = e^{t^2/2}

lt;/p>これは問題で与えられたモーメント母関数と一致します。したがって、確率変数 $X$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。モーメント母関数は、確率分布を特定するためのツールです。特に、正規分布、ポアソン分布、二項分布などの一般的な確率分布のモーメント母関数は、閉じた形で表現できることが知られています。また、独立な確率変数の和のモーメント母関数は、各確率変数のモーメント母関数の積になります：$M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)$（$X$ と $Y$ が独立の場合）この性質は、中心極限定理の証明や、複雑な確率分布の解析に役立ちます。したがって、確率変数 $X$ の分布として最も適切なものは平均0、分散1の正規分布です。

確率編