ベイズの定理を用いて原因の確率を求める問題です。
1. 事象の定義
以下の事象を定義します：
- 事象 $A$：製品が機械Aで生産された
- 事象 $B$：製品が機械Bで生産された
- 事象 $C$：製品が機械Cで生産された
- 事象 $D$：製品が不良品である
問題で与えられた情報：
- $P(A) = 0.50$
- $P(B) = 0.30$
- $P(C) = 0.20$
- $P(D|A) = 0.02$（機械Aの不良品率）
- $P(D|B) = 0.03$（機械Bの不良品率）
- $P(D|C) = 0.04$（機械Cの不良品率）
求めるのは、不良品であったという条件のもとで、それが機械Aによって生産された確率 $P(A|D)$ です。
2. ベイズの定理
ベイズの定理より：
$P(A|D) = \frac{P(D|A) \times P(A)}{P(D)}$
3. 全確率の法則による分母の計算
分母の $P(D)$ は、製品が不良品である全体の確率です。これは全確率の法則を用いて計算できます。事象 $A, B, C$ は互いに排反であり、全事象を網羅するため：
\begin{align}P(D) &= P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \\
&= (0.02 \times 0.50) + (0.03 \times 0.30) + (0.04 \times 0.20) \\
&= 0.010 + 0.009 + 0.008 \\
&= 0.027
\end{align}
4. 事後確率の計算
ベイズの定理に値を代入して $P(A|D)$ を計算します：
\begin{align}
P(A|D) &= \frac{P(D|A) \times P(A)}{P(D)} \\
&= \frac{0.02 \times 0.50}{0.027} \\
&= \frac{0.010}{0.027} \\
&\approx 0.37037... \\
&\approx 0.370 \quad (\text{小数第3位まで})\end{align}
この問題は、ある結果（不良品）が観測されたときに、その原因となった事象（どの機械で生産されたか）の確率を求める、典型的なベイズの定理の応用例です。
- $P(A), P(B), P(C)$ は事前確率と呼ばれ、結果を知る前の各原因の確率を表します。
- $P(D|A), P(D|B), P(D|C)$ は尤度と呼ばれ、各原因のもとで結果が観測される確率を表します。
- $P(A|D)$ は事後確率と呼ばれ、結果を知った後の原因の確率を表します。
計算結果より、不良品が見つかった場合、それが機械Aで生産された確率は約37.0%です。