確率変数の分散を求める問題です。
1. 分散の定義
確率変数 $X$ の分散 $Var(X)$ または $\sigma^2$ は、各値と期待値との差の二乗の期待値として定義されます：
$Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i)$
または、以下の計算式も使用できます：
$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$
2. 期待値の計算
まず、確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を計算します：
\begin{align}
E(X) &= \sum_{i} x_i \times P(X = x_i) \\
&= 0 \times 0.1 + 1 \times 0.3 + 2 \times 0.4 + 3 \times 0.2 \\
&= 0 + 0.3 + 0.8 + 0.6 \\
&= 1.7
\end{align}
3. 分散の計算（方法1）
分散の定義に従って計算します：
\begin{align}
Var(X) &= \sum_{i} (x_i - E(X))^2 \times P(X = x_i) \\
&= (0 - 1.7)^2 \times 0.1 + (1 - 1.7)^2 \times 0.3 + (2 - 1.7)^2 \times 0.4 + (3 - 1.7)^2 \times 0.2 \\
&= (-1.7)^2 \times 0.1 + (-0.7)^2 \times 0.3 + (0.3)^2 \times 0.4 + (1.3)^2 \times 0.2 \\
&= 2.89 \times 0.1 + 0.49 \times 0.3 + 0.09 \times 0.4 + 1.69 \times 0.2 \\
&= 0.289 + 0.147 + 0.036 + 0.338 \\
&= 0.81
\end{align}
4. 分散の計算（方法2）
別の計算方法として、$E(X^2) - (E(X))^2$ を用いることもできます。
まず、$E(X^2)$ を計算します：
\begin{align}
E(X^2) &= \sum_{i} x_i^2 \times P(X = x_i) \\
&= 0^2 \times 0.1 + 1^2 \times 0.3 + 2^2 \times 0.4 + 3^2 \times 0.2 \\
&= 0 + 0.3 + 1.6 + 1.8 \\
&= 3.7
\end{align}
次に、分散を計算します：
\begin{align}Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\
&= 3.7 - (1.7)^2 \\
&= 3.7 - 2.89 \\
&= 0.81
\end{align}
5. 標準偏差の計算
標準偏差 $\sigma$ は分散の平方根です：
\begin{align}\sigma &= \sqrt{Var(X)} \\
&= \sqrt{0.81} \\
&= 0.9
\end{align}
分散と標準偏差の特徴と解釈：
- 分散と標準偏差は、確率変数の値がどれだけ期待値の周りに散らばっているかを測る指標です。
- 分散が大きいほど、値が広く分布していることを示します。
- 標準偏差は分散の平方根で、元の確率変数と同じ単位を持つため、解釈がしやすいという利点があります。
- 分散は線形性を持ちますが、定数倍の関係があります：$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$（$a$, $b$ は定数、$X$ は確率変数）
- 独立な確率変数の和の分散は、各分散の和に等しくなります：$Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)$（$X$, $Y$ が独立の場合）
この問題では、確率変数 $X$ の分散は0.81となります。これは、値が期待値1.7の周りにどれだけ散らばっているかを示しています。標準偏差は0.9で、これは「平均的に見て、値は期待値から約0.9単位離れている」と解釈できます。
したがって、この確率変数 $X$ の分散は0.81です。