モーメント母関数 - 問題演習問題16 - 青の統計学-DS Playground-

モーメント母関数レベル1

確率変数Xのモーメント母関数$M_X(t)$が以下のように与えられている。 $M_X(t) = (1 - t)^{-2}$ この確率変数Xの期待値と分散はそれぞれいくらか。

解説

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モーメント母関数から確率変数の期待値と分散を求める問題です。1. モーメント母関数の定義と性質確率変数 $X$ のモーメント母関数 $M_X(t)$ は以下のように定義されます：$M_X(t) = E(e^{tX})

lt;/p>モーメント母関数の重要な性質として、$M_X(t)$ の $t$ に関する導関数を $t = 0$ で評価することで、確率変数の各モーメント（期待値、分散など）を求めることができます：<ul><li>$E(X) = M_X'(0)$（第1モーメント = 期待値）</li><li>$E(X^2) = M_X''(0)$（第2モーメント）</li><li>一般に、$E(X^n) = M_X^{(n)}(0)$（第nモーメント）</li></ul>分散は $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。2. モーメント母関数の微分与えられたモーメント母関数は $M_X(t) = (1 - t)^{-2}$ です。第1導関数を求めます：\begin{align}M_X'(t) &= \frac{d}{dt}[(1 - t)^{-2}] \\ &= -2 \times (1 - t)^{-3} \times (-1) \\ &= 2(1 - t)^{-3} \end{align} $t = 0$ での評価： \begin{align} M_X'(0) &= 2(1 - 0)^{-3} \\ &= 2 \times 1^{-3} \\ &= 2 \end{align}したがって、$E(X) = M_X'(0) = 2$ です。第2導関数を求めます： \begin{align} M_X''(t) &= \frac{d}{dt}[2(1 - t)^{-3}] \\ &= 2 \times \frac{d}{dt}[(1 - t)^{-3}] \\ &= 2 \times (-3) \times (1 - t)^{-4} \times (-1) \\ &= 6(1 - t)^{-4} \end{align} $t = 0$ での評価： \begin{align} M_X''(0) &= 6(1 - 0)^{-4} \\ &= 6 \times 1^{-4} \\ &= 6 \end{align} したがって、$E(X^2) = M_X''(0) = 6$ です。 3. 分散の計算 分散は以下の式で計算できます： \begin{align} Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\ &= 6 - 2^2 \\ &= 6 - 4 \\ &= 2 \end{align} 4. 確率分布の特定 モーメント母関数 $M_X(t) = (1 - t)^{-2}$ は、パラメータ $\alpha = 2$ のガンマ分布の特性を持っています。具体的には、これは自由度 $2\alpha = 4$ のカイ二乗分布、または形状パラメータ $k = 2$ の指数分布の和（アーラン分布）に対応します。 モーメント母関数の特徴と応用：<ul><li>モーメント母関数は、確率分布を一意に特定します（存在する場合）。つまり、2つの確率変数のモーメント母関数が同じであれば、それらの確率分布も同じです。</li><li>独立な確率変数の和のモーメント母関数は、各モーメント母関数の積になります：$M_{X+Y}(t) = M_X(t) \times M_Y(t)$（$X$ と $Y$ が独立の場合）</li><li>モーメント母関数は、確率分布の特性を調べたり、確率変数の和の分布を導出したりするのに役立ちます。</li><li>すべての確率分布がモーメント母関数を持つわけではありません。例えば、コーシー分布はモーメント母関数を持ちません。</li></ul>この問題では、与えられたモーメント母関数から、確率変数 $X$ の期待値は $E(X) = 2$、分散は $Var(X) = 2$ であることがわかりました。したがって、正解は「E(X) = 2, Var(X) = 2」です。

確率編