モーメント母関数から確率変数の期待値と分散を求める問題です。
1. モーメント母関数の定義と性質
確率変数 $X$ のモーメント母関数 $M_X(t)$ は以下のように定義されます：
$M_X(t) = E(e^{tX})$
モーメント母関数の重要な性質として、$M_X(t)$ の $t$ に関する導関数を $t = 0$ で評価することで、確率変数の各モーメント（期待値、分散など）を求めることができます：
- $E(X) = M_X'(0)$（第1モーメント = 期待値）
- $E(X^2) = M_X''(0)$（第2モーメント）
- 一般に、$E(X^n) = M_X^{(n)}(0)$（第nモーメント）
分散は $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。
2. モーメント母関数の微分
与えられたモーメント母関数は $M_X(t) = (1 - t)^{-2}$ です。
第1導関数を求めます：
\begin{align}M_X'(t) &= \frac{d}{dt}[(1 - t)^{-2}] \\
&= -2 \times (1 - t)^{-3} \times (-1) \\
&= 2(1 - t)^{-3}
\end{align}
$t = 0$ での評価：
\begin{align}
M_X'(0) &= 2(1 - 0)^{-3} \\
&= 2 \times 1^{-3} \\
&= 2
\end{align}
したがって、$E(X) = M_X'(0) = 2$ です。
第2導関数を求めます：
\begin{align}
M_X''(t) &= \frac{d}{dt}[2(1 - t)^{-3}] \\
&= 2 \times \frac{d}{dt}[(1 - t)^{-3}] \\
&= 2 \times (-3) \times (1 - t)^{-4} \times (-1) \\
&= 6(1 - t)^{-4}
\end{align}
$t = 0$ での評価：
\begin{align}
M_X''(0) &= 6(1 - 0)^{-4} \\
&= 6 \times 1^{-4} \\
&= 6
\end{align}
したがって、$E(X^2) = M_X''(0) = 6$ です。
3. 分散の計算
分散は以下の式で計算できます：
\begin{align}
Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 \\
&= 6 - 2^2 \\
&= 6 - 4 \\
&= 2
\end{align}
4. 確率分布の特定
モーメント母関数 $M_X(t) = (1 - t)^{-2}$ は、パラメータ $\alpha = 2$ のガンマ分布の特性を持っています。具体的には、これは自由度 $2\alpha = 4$ のカイ二乗分布、または形状パラメータ $k = 2$ の指数分布の和（アーラン分布）に対応します。
モーメント母関数の特徴と応用：
- モーメント母関数は、確率分布を一意に特定します（存在する場合）。つまり、2つの確率変数のモーメント母関数が同じであれば、それらの確率分布も同じです。
- 独立な確率変数の和のモーメント母関数は、各モーメント母関数の積になります：$M_{X+Y}(t) = M_X(t) \times M_Y(t)$（$X$ と $Y$ が独立の場合）
- モーメント母関数は、確率分布の特性を調べたり、確率変数の和の分布を導出したりするのに役立ちます。
- すべての確率分布がモーメント母関数を持つわけではありません。例えば、コーシー分布はモーメント母関数を持ちません。
この問題では、与えられたモーメント母関数から、確率変数 $X$ の期待値は $E(X) = 2$、分散は $Var(X) = 2$ であることがわかりました。
したがって、正解は「E(X) = 2, Var(X) = 2」です。