条件付き期待値を計算する問題です。特定の事象が発生したという条件下での期待値を求めます。
条件付き期待値 \( E[X|A] \) は、事象Aが起きたという条件下でのXの期待値であり、\( E[X|A] = \sum_x x P(X=x|A) \) で計算されます。ここで \( P(X=x|A) = \frac{P(X=x \cap A)}{P(A)} \) です。
1. 全事象と確率
サイコロA、Bの出目はそれぞれ {1, 2, 3, 4, 5, 6} であり、同様に確からしい。全事象は 6 × 6 = 36 通り。
2. 条件「X+Yが偶数」となる事象 A
X+Yが偶数となるのは、(Xが奇数 かつ Yが奇数) または (Xが偶数 かつ Yが偶数) の場合です。
- (X奇, Y奇): X,Yそれぞれ3通りなので 3 × 3 = 9 通り。
- (X偶, Y偶): X,Yそれぞれ3通りなので 3 × 3 = 9 通り。
よって、事象Aが起こる場合の数は 9 + 9 = 18 通り。したがって \( P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)。
3. 条件Aの下でのXの確率分布 P(X=x|A)
Xの値ごとに、X+Yが偶数となるYの値を考え、\( P(X=x \cap A) \) を求めます。
- X=1 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=1 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=1|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
- X=2 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=2 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=2|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
- X=3 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=3 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=3|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
- X=4 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=4 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=4|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
- X=5 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=5 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=5|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
- X=6 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=6 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=6|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)
4. 条件付き期待値 E[X | A] の計算
\[ E[X|A] = \sum_{x=1}^{6} x P(X=x|A) \]
\[ E[X|A] = 1 \cdot \frac{3}{18} + 2 \cdot \frac{3}{18} + 3 \cdot \frac{3}{18} + 4 \cdot \frac{3}{18} + 5 \cdot \frac{3}{18} + 6 \cdot \frac{3}{18} \]
\[ E[X|A] = \frac{3}{18} (1+2+3+4+5+6) = \frac{3}{18} \times 21 = \frac{63}{18} = \frac{7}{2} = 3.5 \]