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<p>条件付き期待値を計算する問題です。特定の事象が発生したという条件下での期待値を求めます。</p><p class='key-point'>条件付き期待値 \( E[X|A] \) は、事象Aが起きたという条件下でのXの期待値であり、\( E[X|A] = \sum_x x P(X=x|A) \) で計算されます。ここで \( P(X=x|A) = \frac{P(X=x \cap A)}{P(A)} \) です。</p><p class='step'>1. 全事象と確率</p><p>サイコロA、Bの出目はそれぞれ {1, 2, 3, 4, 5, 6} であり、同様に確からしい。全事象は 6 × 6 = 36 通り。</p><p class='step'>2. 条件「X+Yが偶数」となる事象 A</p><p>X+Yが偶数となるのは、(Xが奇数 かつ Yが奇数) または (Xが偶数 かつ Yが偶数) の場合です。</p><ul><li>(X奇, Y奇): X,Yそれぞれ3通りなので 3 × 3 = 9 通り。</li><li>(X偶, Y偶): X,Yそれぞれ3通りなので 3 × 3 = 9 通り。</li></ul><p>よって、事象Aが起こる場合の数は 9 + 9 = 18 通り。したがって \( P(A) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \)。</p><p class='step'>3. 条件Aの下でのXの確率分布 P(X=x|A)</p><p>Xの値ごとに、X+Yが偶数となるYの値を考え、\( P(X=x \cap A) \) を求めます。</p><ul><li>X=1 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=1 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=1|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li><li>X=2 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=2 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=2|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li><li>X=3 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=3 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=3|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li><li>X=4 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=4 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=4|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li><li>X=5 (奇数): Yも奇数 (1,3,5) の3通り。\( P(X=5 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=5|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li><li>X=6 (偶数): Yも偶数 (2,4,6) の3通り。\( P(X=6 \cap A) = \frac{3}{36} \)。 \( P(X=6|A) = \frac{3/36}{18/36} = \frac{3}{18} \)</li></ul><p class='step'>4. 条件付き期待値 E[X | A] の計算</p><p>\[ E[X|A] = \sum_{x=1}^{6} x P(X=x|A) \]</p><p>\[ E[X|A] = 1 \cdot \frac{3}{18} + 2 \cdot \frac{3}{18} + 3 \cdot \frac{3}{18} + 4 \cdot \frac{3}{18} + 5 \cdot \frac{3}{18} + 6 \cdot \frac{3}{18} \]</p><p>\[ E[X|A] = \frac{3}{18} (1+2+3+4+5+6) = \frac{3}{18} \times 21 = \frac{63}{18} = \frac{7}{2} = 3.5 \]</p><p class='final-answer-comment'>気づいた方も多いと思いますが、この場合の条件付き期待値 E[X | X+Yは偶数] は、無条件の期待値 E[X] = 3.5 と同じ値になりました。これは、X+Yが偶数であるという条件が、Xの取りうる値の分布の対称性を崩さなかったためと考えられますね。</p>