モーメント母関数と期待値・分散 - 問題演習問題18

モーメント母関数と期待値・分散レベル1

ある確率変数 X のモーメント母関数が $ M_X(t) = (0.7e^t + 0.3)^2 $ で与えられるとき、Xの期待値 E[X] と分散 V[X] はそれぞれいくつか。

解説

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モーメント母関数から期待値と分散を導出する問題です。モーメント母関数 $ M_X(t) = E[e^{tX}] $ を用いて、$ E[X] = M'_X(0) $ (1階微分してt=0を代入)、$ E[X^2] = M''_X(0) $ (2階微分してt=0を代入) が得られます。そして分散は $ V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 $ で計算できます。1. モーメント母関数の1階微分 $ M'_X(t) $\[ M_X(t) = (0.7e^t + 0.3)^2 \]合成関数の微分法より、\[ M'_X(t) = 2(0.7e^t + 0.3) \cdot (0.7e^t) \]\[ M'_X(t) = 1.4e^t(0.7e^t + 0.3) = 0.98e^{2t} + 0.42e^t \]2. 期待値 E[X] の計算\[ E[X] = M'_X(0) = 0.98e^{2 \cdot 0} + 0.42e^0 = 0.98 \times 1 + 0.42 \times 1 = 0.98 + 0.42 = 1.4 \]3. モーメント母関数の2階微分 $ M''_X(t) $\[ M'_X(t) = 0.98e^{2t} + 0.42e^t \]\[ M''_X(t) = 0.98 \cdot 2e^{2t} + 0.42e^t = 1.96e^{2t} + 0.42e^t \]4. Xの2乗の期待値 E[X²] の計算\[ E[X^2] = M''_X(0) = 1.96e^{2 \cdot 0} + 0.42e^0 = 1.96 \times 1 + 0.42 \times 1 = 1.96 + 0.42 = 2.38 \]5. 分散 V[X] の計算\[ V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]\[ V[X] = 2.38 - (1.4)^2 = 2.38 - 1.96 = 0.42 \]このモーメント母関数は、成功確率p=0.7のベルヌーイ試行を2回独立に行った場合の成功回数（二項分布 B(2, 0.7)）のモーメント母関数です。二項分布 B(n,p) の期待値は $np$、分散は $np(1-p)$ なので、$E[X] = 2 × 0.7 = 1.4、V[X] = 2 × 0.7 × 0.3 = 0.42$ となり、計算結果と一致します。

確率編