モーメント母関数から期待値と分散を導出する問題です。
モーメント母関数 \( M_X(t) = E[e^{tX}] \) を用いて、\( E[X] = M'_X(0) \) (1階微分してt=0を代入)、\( E[X^2] = M''_X(0) \) (2階微分してt=0を代入) が得られます。そして分散は \( V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \) で計算できます。
1. モーメント母関数の1階微分 \( M'_X(t) \)
\[ M_X(t) = (0.7e^t + 0.3)^2 \]
合成関数の微分法より、
\[ M'_X(t) = 2(0.7e^t + 0.3) \cdot (0.7e^t) \]
\[ M'_X(t) = 1.4e^t(0.7e^t + 0.3) = 0.98e^{2t} + 0.42e^t \]
2. 期待値 E[X] の計算
\[ E[X] = M'_X(0) = 0.98e^{2 \cdot 0} + 0.42e^0 = 0.98 \times 1 + 0.42 \times 1 = 0.98 + 0.42 = 1.4 \]
3. モーメント母関数の2階微分 \( M''_X(t) \)
\[ M'_X(t) = 0.98e^{2t} + 0.42e^t \]
\[ M''_X(t) = 0.98 \cdot 2e^{2t} + 0.42e^t = 1.96e^{2t} + 0.42e^t \]
4. Xの2乗の期待値 E[X²] の計算
\[ E[X^2] = M''_X(0) = 1.96e^{2 \cdot 0} + 0.42e^0 = 1.96 \times 1 + 0.42 \times 1 = 1.96 + 0.42 = 2.38 \]
5. 分散 V[X] の計算
\[ V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 \]
\[ V[X] = 2.38 - (1.4)^2 = 2.38 - 1.96 = 0.42 \]