確率変数の変換（ベータ分布） - 問題演習問題19

確率変数の変換（ベータ分布）レベル1

確率変数 X がパラメータ α=2, β=2 のベータ分布 Beta(2, 2) に従うとする。その確率密度関数は $ f_X(x) = 6x(1-x) $ $ 0 < x < 1 $ である。新しい確率変数 $ Y = X^2 $ を定義する。Yの確率密度関数 $ f_Y(y) $ を求めなさい（$ 0 < y < 1 $ の範囲で）。

解説

解答と解説を表示

確率変数 $X$ が従う分布から、その関数 $Y = g(X)$ で定義される新しい確率変数 $Y$ の確率密度関数を求める問題です。ここでは、累積分布関数を経由する方法を用います。1. 元の確率変数 $X$ の情報<ul><li>$X$ はパラメータ $\alpha=2, \beta=2$ のベータ分布 $Beta(2, 2)$ に従う。</li><li>$X$ の確率密度関数: $f_X(x) = 6x(1-x)$ for $0 < x < 1

lt;/li><li>$X$ の取りうる値の範囲: $0 < x < 1

lt;/li></ul>2. 新しい確率変数 $Y$ の定義と範囲<ul><li>$Y = X^2

lt;/li><li>$X$ が $(0, 1)$ の値をとるため、$Y=X^2$ も $(0, 1)$ の範囲の値をとります。</li></ul>3. $Y$ の累積分布関数 $F_Y(y)$ の導出$Y$ の累積分布関数 $F_Y(y)$ は、定義より $F_Y(y) = P(Y \le y)$ です。$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y)

lt;/p>$0 < x < 1$ で $X > 0$ であり、また $0 < y < 1$ で $\sqrt{y} > 0$ なので、$X^2 \le y$ という条件は $X \le \sqrt{y}$ と同値です。$F_Y(y) = P(X \le \sqrt{y})

lt;/p>これは、$X$ の累積分布関数 $F_X(x)$ を用いて $F_X(\sqrt{y})$ と書けます。具体的には、$X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ を積分して求めます。$F_Y(y) = \int_0^{\sqrt{y}} f_X(x) dx

lt;/p>4. $F_Y(y)$ の計算$F_Y(y) = \int_0^{\sqrt{y}} 6x(1-x) dx = \int_0^{\sqrt{y}} (6x - 6x^2) dx

lt;/p>積分を計算します。$F_Y(y) = [3x^2 - 2x^3]_0^{\sqrt{y}}

lt;/p>$F_Y(y) = (3(\sqrt{y})^2 - 2(\sqrt{y})^3) - (3(0)^2 - 2(0)^3)

lt;/p>$F_Y(y) = 3y - 2y^{3/2}

lt;/p>これは $0 < y < 1$ の場合です。$y \le 0$ のときは $P(X^2 \le y) = 0$ なので $F_Y(y) = 0$、$y \ge 1$ のときは $P(X^2 \le y) = 1$ なので $F_Y(y) = 1$ です。5. $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ の導出$Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ は、累積分布関数 $F_Y(y)$ を $y$ で微分することで得られます ($0 < y < 1$ の範囲で)。$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (3y - 2y^{3/2})

lt;/p>微分を実行します。$f_Y(y) = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2} y^{(3/2) - 1} = 3 - 3y^{1/2}

lt;/p>整理すると、$f_Y(y) = 3(1 - y^{1/2}) = 3(1 - \sqrt{y})

lt;/p>6. 結論と選択肢の確認したがって、$0 < y < 1$ における $Y$ の確率密度関数は $f_Y(y) = 3(1 - \sqrt{y})$ です。これは選択肢の $ f_Y(y) = 3(1 - \sqrt{y}) $ に一致します。確率変数の変換における確率密度関数の導出には、この累積分布関数を経由する方法の他に、変数変換の公式（単調増加または単調減少の場合）を用いる方法もあります。

確率編