確率変数 $X$ が従う分布から、その関数 $Y = g(X)$ で定義される新しい確率変数 $Y$ の確率密度関数を求める問題です。ここでは、累積分布関数を経由する方法を用います。
1. 元の確率変数 $X$ の情報
- $X$ はパラメータ $\alpha=2, \beta=2$ のベータ分布 $Beta(2, 2)$ に従う。
- $X$ の確率密度関数: $f_X(x) = 6x(1-x)$ for $0 < x < 1$
- $X$ の取りうる値の範囲: $0 < x < 1$
2. 新しい確率変数 $Y$ の定義と範囲
- $Y = X^2$
- $X$ が $(0, 1)$ の値をとるため、$Y=X^2$ も $(0, 1)$ の範囲の値をとります。
3. $Y$ の累積分布関数 $F_Y(y)$ の導出
$Y$ の累積分布関数 $F_Y(y)$ は、定義より $F_Y(y) = P(Y \le y)$ です。
$F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^2 \le y)$
$0 < x < 1$ で $X > 0$ であり、また $0 < y < 1$ で $\sqrt{y} > 0$ なので、$X^2 \le y$ という条件は $X \le \sqrt{y}$ と同値です。
$F_Y(y) = P(X \le \sqrt{y})$
これは、$X$ の累積分布関数 $F_X(x)$ を用いて $F_X(\sqrt{y})$ と書けます。具体的には、$X$ の確率密度関数 $f_X(x)$ を積分して求めます。
$F_Y(y) = \int_0^{\sqrt{y}} f_X(x) dx$
4. $F_Y(y)$ の計算
$F_Y(y) = \int_0^{\sqrt{y}} 6x(1-x) dx = \int_0^{\sqrt{y}} (6x - 6x^2) dx$
積分を計算します。
$F_Y(y) = [3x^2 - 2x^3]_0^{\sqrt{y}}$
$F_Y(y) = (3(\sqrt{y})^2 - 2(\sqrt{y})^3) - (3(0)^2 - 2(0)^3)$
$F_Y(y) = 3y - 2y^{3/2}$
これは $0 < y < 1$ の場合です。$y \le 0$ のときは $P(X^2 \le y) = 0$ なので $F_Y(y) = 0$、$y \ge 1$ のときは $P(X^2 \le y) = 1$ なので $F_Y(y) = 1$ です。
5. $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ の導出
$Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ は、累積分布関数 $F_Y(y)$ を $y$ で微分することで得られます ($0 < y < 1$ の範囲で)。
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} (3y - 2y^{3/2})$
微分を実行します。
$f_Y(y) = 3 - 2 \cdot \frac{3}{2} y^{(3/2) - 1} = 3 - 3y^{1/2}$
整理すると、
$f_Y(y) = 3(1 - y^{1/2}) = 3(1 - \sqrt{y})$
6. 結論と選択肢の確認
したがって、$0 < y < 1$ における $Y$ の確率密度関数は $f_Y(y) = 3(1 - \sqrt{y})$ です。これは選択肢の $ f_Y(y) = 3(1 - \sqrt{y}) $ に一致します。
確率変数の変換における確率密度関数の導出には、この累積分布関数を経由する方法の他に、変数変換の公式（単調増加または単調減少の場合）を用いる方法もあります。