2変数データから単回帰分析の回帰係数を求める問題です。
1. 回帰係数の計算式
単回帰分析における回帰係数 $\beta_1$（傾き）は、以下の式で計算されます：
$\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$
ここで、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ はそれぞれ変数 $x$ と $y$ の平均値です。
2. 平均値の計算
まず、$x$ と $y$ の平均値を計算します。
\begin{align}
\bar{x} &= \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3 \\
\bar{y} &= \frac{2 + 4 + 5 + 8 + 10}{5} = \frac{29}{5} = 5.8
\end{align}
3. 分子と分母の計算
次に、回帰係数の計算に必要な分子と分母を求めます。
分子 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ の計算：
\begin{align}
(1 - 3)(2 - 5.8) &= (-2)(-3.8) = 7.6 \\
(2 - 3)(4 - 5.8) &= (-1)(-1.8) = 1.8 \\
(3 - 3)(5 - 5.8) &= (0)(-0.8) = 0 \\
(4 - 3)(8 - 5.8) &= (1)(2.2) = 2.2 \\
(5 - 3)(10 - 5.8) &= (2)(4.2) = 8.4
\end{align}
分子の合計：
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 7.6 + 1.8 + 0 + 2.2 + 8.4 = 20$
分母 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ の計算：
\begin{align}
(1 - 3)^2 &= (-2)^2 = 4 \\
(2 - 3)^2 &= (-1)^2 = 1 \\
(3 - 3)^2 &= (0)^2 = 0 \\
(4 - 3)^2 &= (1)^2 = 1 \\
(5 - 3)^2 &= (2)^2 = 4
\end{align}
分母の合計：
$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$
4. 回帰係数 $\beta_1$ の計算
回帰係数 $\beta_1$ を計算します。
\begin{align}
\beta_1 &= \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \\
&= \frac{20}{10} \\
&= 2
\end{align}
5. 回帰係数 $\beta_0$ の計算（参考）
回帰直線の切片 $\beta_0$ は以下の式で計算されます：
$\beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x}$
この問題では $\beta_0$ を求める必要はありませんが、参考までに計算すると：
\begin{align}
\beta_0 &= \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \\
&= 5.8 - 2 \times 3 \\
&= 5.8 - 6 \\
&= -0.2
\end{align}
したがって、回帰直線は $y = -0.2 + 2x$ となります。
回帰分析の解釈：
回帰係数 $\beta_1 = 2$ は、$x$ が1単位増加すると、$y$ は平均して2単位増加することを意味します。この正の値は、$x$ と $y$ の間に正の線形関係があることを示しています。
回帰直線 $y = -0.2 + 2x$ を用いると、任意の $x$ の値に対する $y$ の予測値を計算することができます。例えば、$x = 3.5$ のとき、予測される $y$ の値は $y = -0.2 + 2 \times 3.5 = -0.2 + 7 = 6.8$ となります。
また、この回帰モデルの当てはまりの良さを評価するために、決定係数 $R^2$ を計算することもできます。$R^2$ は、モデルによって説明される $y$ の変動の割合を表し、0から1の間の値をとります。$R^2$ が1に近いほど、モデルの当てはまりが良いことを示します。
したがって、回帰係数 $\beta_1$ は2.00（小数第2位まで）です。