回帰分析編

単回帰分析、回帰係数の推定と検定、予測と信頼区間、実験計画の基礎に関する問題

分散分析レベル3

一元配置分散分析（One-way ANOVA）において、グループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の関係として正しいものはどれか。

解説

解答と解説を表示

一元配置分散分析（One-way ANOVA）におけるグループ間変動とグループ内変動の関係に関する問題です。

1. 一元配置分散分析の基本概念

一元配置分散分析は、3つ以上のグループの平均値を比較するための統計的手法です。この分析では、データの総変動を以下の2つの成分に分解します：

2. 変動の分解

一元配置分散分析では、総変動（Total Sum of Squares, SST）は以下のように分解されます：

$SST = SSB + SSW$

ここで：

3. 各変動の計算式

各変動は以下のように計算されます：

総変動（SST）：

$SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y})^2$

グループ間変動（SSB）：

$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2$

グループ内変動（SSW）：

$SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2$

ここで：

4. 変動の関係の確認

総変動（SST）は、グループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の和に等しいことが数学的に証明できます：

$SST = SSB + SSW$

この関係は、分散分析の基本的な原理であり、変動の加法性（additivity of variance）と呼ばれることもあります。

5. 選択肢の検討

各選択肢について検討します：

「SSB + SSW = 総変動（SST）」：正しいです。上記で説明したように、総変動はグループ間変動とグループ内変動の和に等しいです。
「SSB - SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は差ではなく和です。
「SSB × SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は積ではなく和です。
「SSB ÷ SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は商ではなく和です。なお、SSB/SSW は F統計量の計算に関連しますが、それは自由度で調整した後の値です。
「SSB = SSW = 総変動（SST）」：誤りです。一般的に、SSB、SSW、SSTはそれぞれ異なる値を持ちます。

分散分析の応用と解釈：

F検定：分散分析では、グループ間変動とグループ内変動の比率（F統計量）を用いて、グループ間に有意差があるかどうかを検定します。F統計量は以下のように計算されます：

$F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{SSB/(k-1)}{SSW/(N-k)}$

ここで、MSBはグループ間平均平方、MSWはグループ内平均平方、Nは総サンプルサイズです。

効果量：分散分析の結果が統計的に有意であった場合、効果の大きさを評価するために効果量（例えば、η²やω²）を計算することがあります。
多重比較：分散分析で有意差が検出された場合、どのグループ間に差があるかを特定するために、Tukey's HSD、Bonferroni、Schefféなどの多重比較法が用いられます。
前提条件：分散分析の妥当性は、正規性、等分散性、独立性などの前提条件に依存します。これらの前提条件が満たされない場合、ノンパラメトリック検定（例えば、Kruskal-Wallis検定）を検討することがあります。

したがって、一元配置分散分析においてグループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の関係として正しいものは「SSB + SSW = 総変動（SST）」です。

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