分散分析 - 問題演習問題9 - 青の統計学-DS Playground-

分散分析レベル1

一元配置分散分析（One-way ANOVA）において、グループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の関係として正しいものはどれか。

解説

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一元配置分散分析（One-way ANOVA）におけるグループ間変動とグループ内変動の関係に関する問題です。1. 一元配置分散分析の基本概念 一元配置分散分析は、3つ以上のグループの平均値を比較するための統計的手法です。この分析では、データの総変動を以下の2つの成分に分解します： <ul> <li>グループ間変動（Between-group variation, SSB）：グループの平均値の違いによる変動</li> <li>グループ内変動（Within-group variation, SSW）：各グループ内での個々の観測値のばらつきによる変動</li> </ul>2. 変動の分解 一元配置分散分析では、総変動（Total Sum of Squares, SST）は以下のように分解されます： $SST = SSB + SSW

lt;/p>ここで： <ul> <li>$SST$：総変動（Total Sum of Squares）</li> <li>$SSB$：グループ間変動（Between-group Sum of Squares）</li> <li>$SSW$：グループ内変動（Within-group Sum of Squares）</li> </ul>3. 各変動の計算式 各変動は以下のように計算されます：総変動（SST）： $SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y})^2

lt;/p>グループ間変動（SSB）： $SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2

lt;/p>グループ内変動（SSW）： $SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2

lt;/p>ここで： <ul> <li>$y_{ij}$：グループ $i$ の $j$ 番目の観測値</li> <li>$\bar{y}_i$：グループ $i$ の平均値</li> <li>$\bar{y}$：全体の平均値</li> <li>$k$：グループの数</li> <li>$n_i$：グループ $i$ のサンプルサイズ</li> </ul>4. 変動の関係の確認 総変動（SST）は、グループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の和に等しいことが数学的に証明できます： $SST = SSB + SSW

lt;/p>この関係は、分散分析の基本的な原理であり、変動の加法性（additivity of variance）と呼ばれることもあります。5. 選択肢の検討 各選択肢について検討します：<ol> <li>「SSB + SSW = 総変動（SST）」：正しいです。上記で説明したように、総変動はグループ間変動とグループ内変動の和に等しいです。</li><li>「SSB - SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は差ではなく和です。</li><li>「SSB × SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は積ではなく和です。</li><li>「SSB ÷ SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は商ではなく和です。なお、SSB/SSW は F統計量の計算に関連しますが、それは自由度で調整した後の値です。</li><li>「SSB = SSW = 総変動（SST）」：誤りです。一般的に、SSB、SSW、SSTはそれぞれ異なる値を持ちます。</li> </ol>分散分析の応用と解釈： <ul> <li>F検定：分散分析では、グループ間変動とグループ内変動の比率（F統計量）を用いて、グループ間に有意差があるかどうかを検定します。F統計量は以下のように計算されます：</li> $F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{SSB/(k-1)}{SSW/(N-k)}

lt;/p> ここで、MSBはグループ間平均平方、MSWはグループ内平均平方、Nは総サンプルサイズです。<li>効果量：分散分析の結果が統計的に有意であった場合、効果の大きさを評価するために効果量（例えば、η²やω²）を計算することがあります。</li><li>多重比較：分散分析で有意差が検出された場合、どのグループ間に差があるかを特定するために、Tukey's HSD、Bonferroni、Schefféなどの多重比較法が用いられます。</li><li>前提条件：分散分析の妥当性は、正規性、等分散性、独立性などの前提条件に依存します。これらの前提条件が満たされない場合、ノンパラメトリック検定（例えば、Kruskal-Wallis検定）を検討することがあります。</li> </ul>したがって、一元配置分散分析においてグループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の関係として正しいものは「SSB + SSW = 総変動（SST）」です。

回帰分析編