一元配置分散分析（One-way ANOVA）におけるグループ間変動とグループ内変動の関係に関する問題です。
1. 一元配置分散分析の基本概念
一元配置分散分析は、複数（通常は3つ以上）のグループの平均値を比較するための統計的手法です。この分析では、データの総変動を以下の2つの成分に分解します：
- グループ間変動（Between-group variation, SSB）：グループの平均値の違いによる変動
- グループ内変動（Within-group variation, SSW）：各グループ内での個々の観測値のばらつきによる変動
2. 変動の分解
一元配置分散分析では、総変動（Total Sum of Squares, SST）は以下のように分解されます：
$SST = SSB + SSW$
ここで：
- $SST$：総変動（Total Sum of Squares）
- $SSB$：グループ間変動（Between-group Sum of Squares）
- $SSW$：グループ内変動（Within-group Sum of Squares）
3. 各変動の計算式
各変動は以下のように計算されます：
総変動（SST）：
$SST = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y})^2$
グループ間変動（SSB）：
$SSB = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{y}_i - \bar{y})^2$
グループ内変動（SSW）：
$SSW = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij} - \bar{y}_i)^2$
ここで：
- $y_{ij}$：グループ $i$ の $j$ 番目の観測値
- $\bar{y}_i$：グループ $i$ の平均値
- $\bar{y}$：全体の平均値
- $k$：グループの数
- $n_i$：グループ $i$ のサンプルサイズ
4. 変動の関係の確認
総変動（SST）は、グループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の和に等しいことが数学的に証明できます：
$SST = SSB + SSW$
この関係は、分散分析の基本的な原理であり、平方和の分解と呼ばれます。
5. 選択肢の検討
各選択肢について検討します：
- 「SSB + SSW = 総変動（SST）」：正しいです。上記で説明したように、総変動はグループ間変動とグループ内変動の和に等しいです。
- 「SSB - SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は差ではなく和です。
- 「SSB × SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は積ではなく和です。
- 「SSB ÷ SSW = 総変動（SST）」：誤りです。総変動は商ではなく和です。なお、SSB/SSW は F統計量の計算に関連しますが、それは自由度で調整した後の値です。
- 「SSB = SSW = 総変動（SST）」：誤りです。一般的に、SSB、SSW、SSTはそれぞれ異なる値を持ちます。
分散分析の応用と解釈：
したがって、一元配置分散分析においてグループ間変動（SSB）とグループ内変動（SSW）の関係として正しいものは「SSB + SSW = 総変動（SST）」です。