予測値の信頼区間に関する問題です。
1. 予測値の計算
回帰式 $y = 3 + 2x$ に $x = 12$ を代入して、予測値 $\hat{y}$ を計算します：
\begin{align}
\hat{y} &= 3 + 2 \times 12 \\
&= 3 + 24 \\
&= 27
\end{align}
2. 予測値の標準誤差
予測値 $\hat{y}$ の標準誤差は以下の式で計算されます：
$SE(\hat{y}) = s \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}}$
ここで：
- $s$ は残差標準誤差
- $n$ は標本サイズ
- $x_0$ は予測したい説明変数の値
- $\bar{x}$ は説明変数の平均
- $\sum(x_i - \bar{x})^2$ は説明変数の平方和
説明変数の平方和は、$(n-1) \times s_x^2$ で計算できます。ここで、$s_x$ は説明変数の標準偏差です。
\begin{align}
\sum(x_i - \bar{x})^2 &= (n-1) \times s_x^2 \\
&= (25-1) \times 2^2 \\
&= 24 \times 4 \\
&= 96
\end{align}
これらの値を用いて、予測値の標準誤差を計算します：
\begin{align}
SE(\hat{y}) &= s \sqrt{\frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}} \\
&= 4 \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{(12 - 10)^2}{96}} \\
&= 4 \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{4}{96}} \\
&= 4 \sqrt{0.04 + 0.0417} \\
&= 4 \sqrt{0.0817} \\
&= 4 \times 0.2858 \\
&= 1.143
\end{align}
3. 予測値の信頼区間
予測値の95%信頼区間は以下の式で計算されます：
$\hat{y} \pm t_{n-2, \alpha/2} \times SE(\hat{y})$
ここで、$t_{n-2, \alpha/2}$ は自由度 $n-2$ のt分布の上側 $\alpha/2$ 点です。
自由度 $n-2 = 25-2 = 23$ のt分布の上側 $0.025$ 点は、t分布表または計算ツールを用いて、$t_{23, 0.025} = 2.069$ と求められます。
したがって、予測値の95%信頼区間は：
\begin{align}
\hat{y} \pm t_{n-2, \alpha/2} \times SE(\hat{y}) &= 27 \pm 2.069 \times 1.143 \\
&= 27 \pm 2.365 \\
&= [24.635, 29.365]
\end{align}
予測区間と信頼区間の違い：
この問題では予測値の信頼区間を求めましたが、実際の新しい観測値の予測区間はこれよりも広くなります。予測区間は、個々の新しい観測値の不確実性も考慮するため、以下の式で計算されます：
$\hat{y} \pm t_{n-2, \alpha/2} \times s \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{\sum(x_i - \bar{x})^2}}$
予測区間は常に信頼区間よりも広くなります。これは、予測区間が平均応答の不確実性に加えて、個々の観測値のランダムな変動も考慮するためです。
また、予測値（または予測区間）は、説明変数の値が訓練データの範囲から大きく外れる場合、信頼性が低下することに注意が必要です。これは外挿と呼ばれ、モデルの仮定が外挿範囲で成り立たない可能性があるためです。