母平均の両側検定を行う問題です。
1. 仮説の設定
問題文から、以下の仮説を設定します：
- 帰無仮説 $H_0$: $\mu = 10$ （母平均は10cmである）
- 対立仮説 $H_1$: $\mu \neq 10$ （母平均は10cmではない）
2. 検定統計量の計算
母分散が未知の場合、t検定を用います。検定統計量 t は以下の式で計算されます：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
与えられた情報を代入します：
- $\bar{x} = 10.2$
- $\mu_0 = 10$ （帰無仮説の値）
- $s = 0.5$
- $n = 25$
$t = \frac{10.2 - 10}{0.5/\sqrt{25}} = \frac{0.2}{0.5/5} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
3. 臨界値と決定ルール
有意水準5%の両側検定では、自由度 $df = n - 1 = 25 - 1 = 24$ の t分布の両側2.5%点と比較します。
$t_{0.025, 24} \approx 2.064$ （t分布表から）
計算された検定統計量の絶対値 $|t| = 2$ は臨界値 $t_{0.025, 24} \approx 2.064$ よりわずかに小さいです。
4. p値の計算
両側検定のp値は、自由度24のt分布において、$|t| = 2$ よりも極端な値が得られる確率の2倍です。
$p\text{値} = 2 \times P(t_{24} > 2) \approx 0.057$
この計算では、$p\text{値} \approx 0.057 > 0.05$ となり、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。
実際の統計解析では、正確なp値を計算するために統計ソフトウェアを使用することが一般的です。また、有意水準（例えば5%）と比較してp値が非常に近い場合は、結果の解釈に注意が必要です。統計的有意性だけでなく、効果の大きさや実質的な重要性も考慮すべきです。