母平均の両側検定を行う問題です。
1. 仮説の設定
問題文から、以下の仮説を設定します：
- 帰無仮説 $H_0$: $\mu = 10$ （母平均は10cmである）
- 対立仮説 $H_1$: $\mu \neq 10$ （母平均は10cmではない）
2. 検定統計量の計算
母分散が未知の場合、t検定を用います。検定統計量 t は以下の式で計算されます：
$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}$
与えられた情報を代入します：
- $\bar{x} = 10.2$
- $\mu_0 = 10$ （帰無仮説の値）
- $S = 0.5$
- $n = 25$
$t = \frac{10.2 - 10}{0.5/\sqrt{25}} = \frac{0.2}{0.5/5} = \frac{0.2}{0.1} = 2$
3. 臨界値と決定ルール
有意水準5%の両側検定では、自由度 $df = n - 1 = 25 - 1 = 24$ の t分布の両側2.5%点と比較します。
$t_{0.025, 24} \approx 2.064$ （t分布表から）
計算された検定統計量の絶対値 $|t| = 2$ は臨界値 $t_{0.025, 24} \approx 2.064$ よりわずかに小さいです。
4. p値の確認
一般的なt分布表では、自由度24の上側5%点は約1.711、上側2.5%点は約2.064です。$1.711 < |t| = 2 < 2.064$ なので、片側確率は0.025より大きく0.05より小さく、両側p値は0.05以上0.10未満と分かります。
統計ソフトウェアで正確に計算すると、$p\text{値} = 2 \times P(t_{24} > 2) \approx 0.05694 \approx 0.057$ です。この0.057は、一般的なt分布表に直接掲載されている値ではなく、t分布の累積確率を数値計算した値です。
したがって、$p\text{値} > 0.05$ となり、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。
p値が有意水準に近い場合は、統計的有意性だけでなく、効果の大きさや実質的な重要性も考慮して結果を解釈することが大切です。