<p>母比率の検定を行う問題です。</p><p class='step'>1. 仮説の設定</p>
<p>問題文から、以下の仮説を設定します：</p>
<ul>
<li>帰無仮説 $H_0$: $p \leq 0.05$ （不良率は5%以下である）</li>
<li>対立仮説 $H_1$: $p > 0.05$ （不良率は5%より大きい）</li>
</ul><p>これは片側検定です。</p><p class='step'>2. 標本比率の計算</p>
<p>標本比率 $\hat{p}$ は以下のように計算されます：</p><p class='formula'>$\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{15}{200} = 0.075
lt;/p><p>ここで、$X$ は不良品の数、$n$ は標本サイズです。</p><p class='step'>3. 検定統計量の計算</p>
<p>標本サイズが十分に大きい場合（$n\hat{p} \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) \geq 5$）、正規近似を用いることができます。</p><p>この問題では、$n\hat{p} = 200 \times 0.075 = 15 \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) = 200 \times 0.925 = 185 \geq 5$ なので、正規近似が適用できます。</p><p>検定統計量 $z$ は以下の式で計算されます：</p><p class='formula'>$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}
lt;/p><p>ここで、$p_0$ は帰無仮説で仮定される母比率です。帰無仮説は $p \leq 0.05$ ですが、境界値 $p_0 = 0.05$ を用いて検定します。</p><p class='formula'>$z = \frac{0.075 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{200}}} = \frac{0.025}{\sqrt{\frac{0.0475}{200}}} = \frac{0.025}{\sqrt{0.0002375}} = \frac{0.025}{0.0154} \approx 1.623
lt;/p><p class='step'>4. p値の計算</p>
<p>片側検定（上側）のp値は、標準正規分布において、$z = 1.623$ よりも大きな値が得られる確率です。</p><p class='formula'>$p\text{値} = P(Z > 1.623) = 1 - \Phi(1.623) \approx 1 - 0.9477 = 0.0523
lt;/p><p>ここで、$\Phi(z)$ は標準正規分布の累積分布関数です。</p><p class='step'>5. 決定と解釈</p>
<p>計算されたp値は約0.0523であり、有意水準0.05よりわずかに大きいです。したがって、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。つまり、不良率が5%以下であるという仮説を棄却するための十分な証拠はありません。</p>