母比率の検定を行う問題です。
1. 仮説の設定
問題文から、以下の仮説を設定します：
- 帰無仮説 $H_0$: $p \leq 0.05$ （不良率は5%以下である）
- 対立仮説 $H_1$: $p > 0.05$ （不良率は5%より大きい）
これは片側検定です。
2. 標本比率の計算
標本比率 $\hat{p}$ は以下のように計算されます：
$\hat{p} = \frac{X}{n} = \frac{15}{200} = 0.075$
ここで、$X$ は不良品の数、$n$ は標本サイズです。
3. 検定統計量の計算
標本サイズが十分に大きい場合（$n\hat{p} \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) \geq 5$）、正規近似を用いることができます。
この問題では、$n\hat{p} = 200 \times 0.075 = 15 \geq 5$ かつ $n(1-\hat{p}) = 200 \times 0.925 = 185 \geq 5$ なので、正規近似が適用できます。
検定統計量 $z$ は以下の式で計算されます：
$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
ここで、$p_0$ は帰無仮説で仮定される母比率です。帰無仮説は $p \leq 0.05$ ですが、境界値 $p_0 = 0.05$ を用いて検定します。
$z = \frac{0.075 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{200}}} = \frac{0.025}{\sqrt{\frac{0.0475}{200}}} = \frac{0.025}{\sqrt{0.0002375}} = \frac{0.025}{0.0154} \approx 1.623$
4. p値の計算
片側検定（上側）のp値は、標準正規分布において、$z = 1.623$ よりも大きな値が得られる確率です。
$p\text{値} = P(Z > 1.623) = 1 - \Phi(1.623) \approx 1 - 0.9477 = 0.0523$
ここで、$\Phi(z)$ は標準正規分布の累積分布関数です。
5. 決定と解釈
計算されたp値は約0.0523であり、有意水準0.05よりわずかに大きいです。したがって、有意水準5%では帰無仮説を棄却できません。つまり、不良率が5%以下であるという仮説を棄却するための十分な証拠はありません。