2つの母平均の差の検定を行う問題です。
1. 仮説の設定
問題文から、以下の仮説を設定します：
- 帰無仮説 $H_0$: $\mu_1 = \mu_2$ または $\mu_1 - \mu_2 = 0$ （2つの母平均に差がない）
- 対立仮説 $H_1$: $\mu_1 \neq \mu_2$ または $\mu_1 - \mu_2 \neq 0$ （2つの母平均に差がある）
これは両側検定です。
2. 検定統計量の選択
2つの独立したグループの母平均の差の検定には、t検定を用います。2つの母集団の分散が等しいと仮定できる場合、プールされた分散を用いたt検定を行います。
検定統計量 $t$ は以下のように計算されます：
$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
ここで、$\bar{x}_1$ と $\bar{x}_2$ はそれぞれのグループの標本平均、$s_p$ はプールされた標準偏差、$n_1$ と $n_2$ はそれぞれのグループの標本サイズです。
プールされた分散 $s_p^2$ は以下のように計算されます：
$s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
ここで、$s_1^2$ と $s_2^2$ はそれぞれのグループの標本分散です。
3. 検定統計量の計算
まず、プールされた分散を計算します：
\begin{align}
s_p^2 &= \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} \\
&= \frac{(25 - 1) \times 10^2 + (36 - 1) \times 12^2}{25 + 36 - 2} \\
&= \frac{24 \times 100 + 35 \times 144}{59} \\
&= \frac{2400 + 5040}{59} \\
&= \frac{7440}{59} \\
&\approx 126.1
\end{align}
プールされた標準偏差は $s_p = \sqrt{126.1} \approx 11.23$ です。
次に、検定統計量を計算します：
\begin{align}
t &= \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \\
&= \frac{80 - 75}{11.23 \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{1}{36}}} \\
&= \frac{5}{11.23 \sqrt{0.04 + 0.0278}} \\
&= \frac{5}{11.23 \sqrt{0.0678}} \\
&= \frac{5}{11.23 \times 0.2604} \\
&= \frac{5}{2.9243} \\
&\approx 1.71
\end{align}
4. 臨界値の決定
有意水準 $\alpha = 0.05$ の両側検定では、自由度 $df = n_1 + n_2 - 2 = 25 + 36 - 2 = 59$ のt分布の上側 $\alpha/2 = 0.025$ 点と下側 $\alpha/2 = 0.025$ 点が臨界値となります。
t分布表または計算ツールを用いて、$t_{59, 0.025} \approx 2.00$ を得ます。
したがって、棄却域は $t < -2.00$ または $t > 2.00$ です。
5. 判定
計算された検定統計量 $t = 1.71$ は、臨界値 $t_{59, 0.025} \approx 2.00$ よりも小さいため、棄却域に入りません。
したがって、有意水準5%で帰無仮説 $H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0$ を棄却することはできません。
6. 結論
有意水準5%で、2つの母平均に差があるという十分な証拠は得られませんでした。
具体的には、第1の標本の平均（80）と第2の標本の平均（75）には5の差がありますが、この差は統計的に有意ではないと判断されました。
2つの母平均の差の検定に関する注意点：
- 2つのグループの母分散が等しいという仮定が満たされない場合は、ウェルチのt検定（分散が等しくないt検定）を用いるべきです。
- 標本サイズが小さい場合は、正規性の仮定が重要になります。標本サイズが大きい場合は、中心極限定理により、正規性の仮定からの逸脱の影響は小さくなります。
- 対応のあるデータ（例：同じ被験者の前後の測定値）の場合は、対応のあるt検定を用いるべきです。
- 統計的有意性は、実質的な重要性を必ずしも意味しないことに注意が必要です。統計的に有意な差が見られなくても、その差が実用上重要である場合もあります。